sábado, 13 de marzo de 2010

Curiosidades bien fundamentadas (1)

Todos los que publicamos sobre números naturales incluimos en algún momento curiosidades aritméticas. A veces no nos damos cuenta de tres hechos que influyen en la aparición de las mismas restando un poco de su importancia matemática:

(A) Algunas son meras coincidencias sin valor matemático alguno, como 2592 =2592

(B) Otras dependen del sistema de numeración empleado, como todas las que usan los conceptos de capicúa o de cifras invertidas. Por ejemplo 122=144 y 212 = 441

(C) En algunos casos no existe tal curiosidad numérica, sino que es el reflejo de una propiedad algebraica expresada de forma que se oculte su origen.

El otro día, releyendo “Los números mágicos del Dr. Matrix” de Martin Gardner, recordé la clave algebraica de esta serie de curiosidades:

32+42 = 52

102+112+122 = 132+142

212+222+232+242 = 252+262+272

Según el autor, basta tomar como primer sumando el cuadrado de n(2n+1), siendo n el número de términos del segundo miembro. Por tanto, la siguiente igualdad comenzará con el cuadrado de 4(2*4+1) = 36: 362+… + 402 = …

¿Sabrías demostrarlo algebraicamente sin trabajar demasiado? Busca algún atajo, si no, mejor lo dejas, que directamente puede resultar muy largo. Eso sí, practicarás el Álgebra hasta hartarte de ella.

En la siguiente entrada daremos unas ideas.