Ecuación de Pell

Se llama ecuación de Pell (por error, porque Pell no la estudió) a la ecuación diofántica cuadrática X² - DY² = 1, con X e Y variables enteras y D número entero positivo no cuadrado perfecto.

Existe una variante con el segundo miembro -1 que se resuelve de forma similar, con algunas restricciones, y también se consideran los casos en los que se trate de cualquier número entero.

En su resolución hay que distinguir dos problemas:

Primera solución

Una primera solución no es difícil de encontrar en general.

(a) Puedes acudir a un simple tanteo entre cuadrados perfectos. Por ejemplo, una solución de X² - 6Y² = 1 es X₀=5 Y₀=2. Con una hoja de cálculo no es tarea muy complicada.

(b) Las fracciones continuas también son útiles en la resolución de esta ecuación. Basta para ello desarrollar la raíz cuadrada de D mediante ellas y, según vimos en una entrada anterior, aprovechar la periodicidad del desarrollo. En el caso de la ecuación de Pell basta tomar las reducidas anteriores a la finalización del primer periodo.

En la imagen observarás que la solución X₀=5,Y₀=2 aparece antes del final del primer periodo [2,4] en el desarrollo por fracciones continuas. Después siguen otras: X=49, Y=20, X=485, Y=198, etc.

En nuestro modelo de hoja de cálculo que recomendamos más abajo basta escribir el valor de D y el segundo miembro +1 ó -1 y la hoja se encarga de desarrollar la raíz cuadrada de D mediante fracciones continuas:

(c) En el documento recomendado al final de esta entrada puedes estudiar estos y otros métodos muy útiles.

Siguientes soluciones

Según la teoría del anillo  Q(R), siendo R la raíz cuadrada de D (no lo desarrollaremos aquí), las primeras soluciones, escritas como 

constituyen una unidad del anillo, y también lo serán todas sus potencias, por lo que las siguientes soluciones provendrán de los desarrollos de las expresiones

agrupando después los términos que no contienen el radical como valor de Y y los que sí lo contienen como valor de X. Este método puede ser fatigoso, por lo que es mejor ir obteniendo las distintas soluciones por recurrencia. En efecto, de la anterior consideración se deduce que

O bien, separando términos:

Estas son las fórmulas que hemos usado en la hoja de cálculo.

Puedes consultar la búsqueda de la primera solución por fracciones continuas y la recurrencia para las siguientes en las hojas de cálculo

http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/hoja/pell.ods para Calc
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/hoja/pell.xls para Excel

Por ejemplo, intenta resolver esta cuestión: ¿Qué cuadrado perfecto de diez cifras, al quitarle una unidad se puede descomponer en cinco cuadrados perfectos idénticos?

Nuestro colaborador Rafael Parra Machío nos ha facilitado un documento muy interesante sobre la ecuación de Pell, en el que podrás consultar otros métodos de resolución, como el que usa aritmética modular, y también algunos detalles históricos y teóricos que no hemos incluido aquí.

Lo puedes descargar desde la dirección http://www.hojamat.es/parra/pell.pdf