Oblongos y pitagóricos (3)

La ecuación x²+(x+1)² =y² se puede desarrollar de esta forma: x²+(x+1)² =y²; 2x²+2x+1=y²; (2x+1)² + 1 = 2y² ; (2x+1)² - 2y² = -1, por lo que llamando z=2x+1 desembocamos en una ecuación de Pell con segundo miembro igual a -1

z²-2y² = -1

Utilizamos las hojas de cálculo que presentamos en una entrada anterior

http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/hoja/pell.ods para Calc
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/hoja/pell.xls para Excel

con el resultado que indica la imagen:



en la que valdrán las soluciones correspondientes a -1

Z=1; Y=1; Imposible, pues X sería negativo
Z=7; Y=5 X=3; X+1=4; Y=5
Z=41; Y=29 X=20; X+1=21;Y=29
Z=239;Y=169 X=119; X+1=120; Y=169
Z=1393;Y=985 X=696;X+1=697; Y=985

que coinciden con las propuestas en la anterior entrada dedicada a este tema.

Este método tiene el inconveniente de que depende de la precisión que tenga la hoja de cálculo en los datos con coma flotante, lo que hará que se rompa en algún momento la periodicidad de los cocientes, en este caso el 2. Por ello se puede completar con una fórmula recursiva que obtenga soluciones exactas conociendo las primeras.

En este ejemplo cada elemento de las distintas celdas cumple la fórmula

a_n+2 = 2a_n+1 + a_n

pero como las soluciones aparecen de forma alternada, deberemos reiterar dos veces, y nos quedará:

a_n+4 = 2a_n+3 + a_n+2 = 2(2a_n+2 + a_n+1)+ 2a_n+1 + a_n = 4a_n+2 + 4a_n+1+ a_n = 6a_n+2 - a_n

Con esta fórmula recursiva se van obteniendo las soluciones sin errores a partir de las dos primeras:

Z₀ = 1; Z₂ = 7; Z₂ = 6*7-1 = 41; Z₂ = 6*41-7 =239; …
Y₀ = 1; Y₂ = 5; Y₄ = 6*5-1 = 29; Y₆ = 6*29-5 =169; …

Pero no olvidemos que Z es una variable auxiliar Z=2X+1 y que después debemos despejar X

La siguiente lista de ternas, que coincide con la primera que propuso Girard, se ha obtenido mediante esta técnica

1 0 1
5 3 4
29 20 21
169 119 120
985 696 697
5741 4059 4060
33461 23660 23661
195025 137903 137904
1136689 803760 803761
6625109 4684659 4684660
38613965 27304196 27304197
225058681 159140519 159140520
1311738121 927538920 927538921
7645370045 5406093003 5406093004
44560482149 31509019100 31509019101
259717522849 183648021599 183648021600
1513744654945 1070379110496 1070379110497
8822750406821 6238626641379 6238626641380
51422757785981 36361380737780 36361380737781
299713796309065 211929657785303 211929657785304


Un reto: Fermat propuso una fórmula de recurrencia para generar ternas de este tipo a partir de otras similares. Dada la terna (x,x+1,y), se puede generar otra similar (x’,x’+1,y’)
mediante las fórmulas x’=2x+3y+1 y’=4x+3y+2.

¿Sabrías demostrarlo? ¿Engendra todas las ternas posibles a partir de 3,4,5?