Diferencia de potencias con la misma base es un cuadrado

Existen muchos números con la propiedad de que dos potencias sucesivas de los mismos se diferencian en un cuadrado. Por ejemplo, 

26¹¹- 26¹⁰=59406880², o 5⁵- 5⁴=50². 

Parece un problema complicado, pero no lo es, como veremos.

La propiedad que buscamos se puede expresar como N^k+1=N^k+m², o bien

N^k(N-1)=m²

Para que se cumpla esto es necesario que  la potencia tenga exponente par y que N-1 sea cuadrado, por ser N y N-1 primos entre sí, lo que no permite construir un cuadrado entre ambos. Es la única forma de que la diferencia de potencias sea cuadrada, y en ellas, la menor ha de ser par y la mayor impar. Es muy sencillo razonar que la condición también es suficiente. Por tanto:

El conjunto de números que cumplen la condición pedida coincide con los que son del tipo n²+1

Están publicados en https://oeis.org/A002522

Los hemos estudiado en dos entradas de este blog:

https://hojaynumeros.blogspot.com/2022/10/regresos-5-un-cuadrado-y-una-unidad-1.html y la siguiente, así como en otra más antigua.

En la siguiente tabla figuran las primeras soluciones al problema. La primera columna es la lista de las bases (números tipo n²+1) y en la segunda las soluciones de diferencias de potencias. En primer lugar figura la potencia mayor (k+1) y después la base del cuadrado que es diferencia entre las potencias. Como era de esperar, se obtienen infinitas soluciones (todas las potencias impares de exponente k+1)

 

Por ejemplo, 82⁷-82⁶=4962312²

Esta lista se puede construir con nuestro Buscador de Naturales (https://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#buscador) aprovechando que N²(N-1) ha de ser cuadrado, como caso particular de la identidad previa:

Se observa que en la segunda columna figuran las raíces de la diferencia de potencias, y todas son enteras.

Según la entrada nuestra sobre este tema, estos números no pueden tener factores primos p que no admitan -1 como resto cuadrático módulo p. Son estos:

3, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 103, 107, 109, 113, 127,…

Esta exigencia no actúa sobre el cuadrado diferencia, ya que este puede poseer factores primos de N-1, según la primera identidad de esta entrada. Por ejemplo, el primer cuadrado de la tabla, 222, es múltiplo de 3, y 520 lo es de 13.

En realidad, m² puede poseer los factores primos de N y también de N-1. Por ejemplo, para N=82, el cuadrado correspondiente, 738, se descompone como 2*3²*41. Entre ellos, 2 y 41 son divisores de 82 y 3² lo es de 82-1=3⁴

Caso particular

Un caso interesante es el de las potencias cubo y cuadrado, pues resulta del mismo la descomposición de un cubo en dos cuadrados.

Por ejemplo, para N=65, se cumplirá

65³=65²+520²

Más particular

En el caso de que un término de la lista sea del tipo 4n²+1, obtendríamos más cuadrados. Por ejemplo,

37^3=12^2+35^2+222^2

Obtendríamos una descomposición de un cubo en tres cuadrados.