Números de Ore

(Con esta entrada particimamos en el VIII Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog "Los matemáticos no son gente seria", de nuestro buen amigo Juan Martínez-Tebar)

Un número entero positivo N se llama de Ore o armónico cuando la media armónica de todos sus divisores es un número entero. Por ejemplo, es armónico 140, porque sus 12 divisores son 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 y 140 y por tanto su media armónica es

Parece muy pesado este cálculo para números grandes, pero existe una simplificación. Para ello basta observar que cada divisor d posee un complementario d’ tales que d.d’=N. Este hecho permite ir sustituyendo cada cociente del tipo 1/d por d’/N, con lo que todos los denominadores resultará iguales a N y se podrán sumar los cocientes con facilidad:

Este procedimiento es fácilmente generalizable: basta multiplicar N por su número de divisores y dividir después entre la suma de los mismos:

Representamos el número de divisores mediante d(N) y su suma por s(N). Basta observar la fórmula para poder interpretarla de otra manera: La media armónica de los divisores equivale al cociente entre el número y la media aritmética de dichos divisores.

Este cambio nos permite calcular la media armónica mediante un sencillo algoritmo: Se encuentran los divisores y se van contando y sumando hasta completar el valor de d(N) y  s(N). Si esta media es entera, el número N será armónico.

Incluimos un listado en Basic que lo logra:

Sub armonico

Input n
a=0 Inicia el contador de divisores
b=0 Inicia el sumador de divisores

for j=2 to n/2+1
if esmultiplo(n,j)  then
a=a+1 Se ha encontrado un divisor: se aumenta el contador en 1
b=b+j Se aumenta el sumador con el valor del divisor
end if
next j

a=a+2 Se añade 2 para contar también 1 y N
b=b+n+1 Se añaden al sumador 1 y N
m=i*a/b  Media armónica
if m=int(m) then msgbox(“Es armónico”) else msgbox(“No es armónico”)

end sub

La siguiente tabla se ha obtenido con la repetición de este algoritmo:

N       D        S          M
6        4        12         2
28      6        56         3
140    12      336       5
270    16      720       6
496    10      992       5
672    24      2016     8
1638  24      4368     9

Los primeros números de Ore son: 1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190,…¿Qué llama la atención en este listado?

Efectivamente, incluye  los números perfectos 6, 28, 496, 8128,…y otros más que no lo son. Todo número perfecto se puede demostrar que también es armónico. Esto es interesante, porque si se lograra demostrar la Conjetura de Ore de que no existen armónicos impares, también se habría logrado demostrar que tampoco hay perfectos impares.

En la tabla anterior vemos que los primeros valores de la media armónica son 2, 3, 5, 6, 5, 8, 9…En ellos hay valores repetidos como el 5 y ausentes como el 4. Según un teorema de Kanold, para cada entero positivo s existe solo un número finito de enteros positivos n tales que su media armónica sea s.