¿En cuántas sumas de cuadrados? (5 de 5)

Reflexión final

Después de redactar las últimas entradas he recordado que en mis clases de Matemáticas, al explicar los números reales, utilizábamos el Teorema de Pitágoras para representar en la recta real los irracionales cuadráticos. Así situábamos, por ejemplo, la raíz cuadrada de 10 mediante el uso de una recta graduada y un compás:

De igual forma representábamos las raíces cuadradas de 2, 13, 17, etc.

Cosa curiosa: en tantos años nadie me preguntó por la raíz de 7 ¿Cómo se representa en la recta real? ¿Qué le hubieras respondido tú?

Hay dos respuestas al menos: una es acumular triángulos rectángulos a partir de uno de hipotenusa la raíz de 2 adosándole un cateto de medida la unidad, con lo que la hipotenusa equivaldría a la raíz de 3, y así sucesivamente, mediante catetos 1 se irían generando todas la raíces en ora de espiral

Otra es acudir a una diferencia de cuadrados. En la imagen puedes ver la representación de la raíz de 7 tomada como cateto de un triángulo de hipotenusa 4 y el otro cateto 3:

Pero este método tiene un inconveniente, y es que sólo son representables con diferencias de cuadrados los números impares y los múltiplos de 4. Por tanto, el número 14 no se podría construir ni con sumas de cuadrados ni con diferencias.

¿Sabrías indicar qué otras dos construcciones geométricas sobre un triángulo rectángulo nos permitirían representar todos los irracionales cuadráticos?

Resumen de la serie de cinco entradas:

Hemos descubierto que la descomposición de un número en sumas o bien en diferencias de cuadrados clasifica a los números enteros positivos en cuatro clases. Terminamos este ciclo de entradas como lo comenzamos, con la sección 182 de las Disquisitiones arithmeticae:

 Todo número natural según Gauss se puede representar de la siguiente forma:

Donde p_i son los factores del tipo 4h+3 y los q_i del tipo 4h+1.

Con esa nomenclatura podemos afirmar:

(1) Si a es par y todas la b_i pares (contando el 0), N se puede descomponer en suma de dos cuadrados y en diferencia de otros dos. Igualando, N=a²+b² = m²- n² y produce de forma indirecta soluciones a la ecuación x²+y²+z²=u². Sería el caso del número 17 = 4²+1²= 9²-8², que da lugar a la identidad 4²+1²+8²= 9²

(2) Si a es impar y todas la b_i pares, N equivaldrá a sumas de cuadrados pero no a diferencias. Ocurre esto con el número 10 = 3²+1² que no puede escribirse como diferencia de cuadrados a causa de no poder expresarse como dos factores de la misma paridad.

(3) Si a es par y alguna b_i impar, admitirá una descomposición en diferencias de cuadrados pero no en sumas (de dos). Así, 15=4²-1² y no se puede descomponer en suma por ser del tipo 4h+3.


(4) Por último, no admitirán ninguna descomposición similar los que presenten a impar y alguna b_i impar. Es así el número 70 = 2*5*7, que a causa del 2 y el 7 no admitirá ser expresado como suma o diferencia de cuadrados.

Insistimos en la pregunta: ¿Cómo lo podríamos representar en la recta real? Es una cuestión más bien elemental.