martes, 2 de noviembre de 2010

¿En cuántas sumas de cuadrados? (3 de 5)

Aparece el número PI

En la entrada anterior se presentaba una fórmula para encontrar el número de descomposiciones distintas en suma de dos cuadrados que puede presentar un número entero positivo. Vimos dos orientaciones: buscar sólo sumandos positivos o admitir también los negativos teniendo en cuenta además el orden.

Para un resultado inesperado que obtendremos más adelante vamos a elegir la segunda opción: encontrar, dado un número entero positivo N, todos los pares x, y de números enteros tales que x2+y2=N. Al número de esos pares lo podemos considerar como función de N, lo que nos permite definir NSC(N)=Número de pares de enteros x, y tales que x2+y2=N

Para implementar esta función en la hoja de cálculo podemos usar un código similar al siguiente (comentarios en cursiva):

Public function nsc(n)
dim i,a,b,ns


if n=0 then
ns=1 Tenemos en cuenta que n puede valer 0
else
ns=0   Se inicia la suma
for i=0 to sqr(n)  Busca el primer sumando
a=n-i*I  Calcula el segundo sumando
if a=int(sqr(a))^2 then  El segundo sumando es un cuadrado
if i*i<=a then Esta línea es para no tener en cuenta el orden de los sumandos
b=sqr(a) Base del segundo cuadrado
if b>0 and i>0 and b<>i then Si ambas bases son positivas y distintas hay 8 posibilidades
ns=ns+8
else  Si una es cero o so iguales, sólo hay 4
ns=ns+4
end if
end if
end if
next i
end if
nsc=ns Se recoge el resultado
end function

Esta función, si se declara Public se puede usar en la hoja de cálculo y formar una tabla que compare N con NSC(N):

N   NSC(N)
0      1
1      4
2      4
3      0
4      4
5      8
6      0
7      0
8      4
9      4
10    8

Aunque su distribución parece ser muy irregular, nos espera una sorpresa y es que si acumulamos los resultados y vamos calculando el promedio de NSC conforme crece N, este promedio tiene como límite el número PI

En la siguiente tabla puedes observar que para N=20 ya se percibe esta tendencia al límite:



Para N=500 el promedio oscila ya de una forma clara alrededor de 3,14:



y para N=8000 su valor es 3,14213.  ¡No nos libramos del número PI!

Puedes descargarte las hojas de cálculo en las que hemos implementado la fórmula de Gauss y la función NSC que cuenta todas las sumas considerando signos y orden en la dirección

http://hojamat.es/blog/sumacuad.zip