En 1796, Gauss descubrió que todo entero positivo puede representarse como la suma de un máximo de tres números triangulares. Estos pueden ser iguales, y si consideráramos el 0 como triangular, podríamos afirmar que todo número natural es suma de tres triangulares.
Un ejercicio interesante es el de descubrir un algoritmo que los encuentre. Para hacerlo más formativo podemos basarnos en dos funciones, una para descubrir si un número es triangular y otra que nos devuelve el mayor triangular mayor o igual que un número dado.
Función estriangular
Si un número N es triangular verificará igualdad N=x(x+1)/2, con x y N ambos enteros, lo que obliga a que 8*N+1 sea cuadrado perfecto ¿por qué?. Esto nos lleva a este código:
Public function estriangular(n) as boolean
dim a
a = Int(sqr(8*n+1))
if a*a=8*n+1 then estriangular = true else estriangular = false
end function
Función mayortriang
Para encontrar el mayor triangular contenido en un número N bastará resolver la ecuación N=x(x+1)/2 truncando el resultado a un número entero. Así que quedará:
Public Function mayortriang(n)
dim a
a = Int((sqr(8*n+1)-1)/2)
mayortriang=a*(a+1)/2
end function
Con esto ya tenemos preparado un algoritmo para OpenOffice.org Calc (fácilmente adaptable a Excel) que encuentre todas las descomposiciones en tres triangulares (incluido el cero):
Sub sumatriangulares
Dim i,j,k
dim a,b
i=StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(3,3).value (se supone que el número se escribe en la celda D4)
a=mayortriang(i)
for j=0 to a (se recorren los valores posibles del primer sumando)
if estriangular(j) then
b=mayortriang(i-j)
for k=j to b (se recorren los valores posibles del segundo sumando)
if estriangular(k) then
if estriangular(i-j-k) and i-j-k>=k then (el tercer sumando ha de ser triangular)
msgbox(j) (se presenta el resultado)
msgbox(k)
msgbox(i-j-k)
end if
end if
next k
end if
next j
End Sub
Pues ánimo y a implementarlo. Puedes añadir una variable que cuente todas las formas de descomposición que tiene un número. Por ejemplo, entre los de tres cifras hay uno que admite 24 sumas distintas de triangulares ¿Cuál?
jueves, 24 de diciembre de 2009
sábado, 19 de diciembre de 2009
Primos, semiprimos y casi primos (3)
¿Podríamos conseguir que cualquier número nos transmitiera dos números de forma simultánea sin ninguna ambigüedad, como ocurre con los semiprimos? La respuesta es afirmativa.
Observa estas factorizaciones: 24=4*6, 144=12*12, 600=24*25, 72=8*9,…
Los factores están elegidos de tal forma que dado un número (no necesariamente semiprimo) puedas adivinar qué factores te desean transmitir. Por ejemplo, ¿qué factores te transmite 120? Si has adivinado el método, sabrás que se trata de 120=10*12.
La idea es descomponer un número natural cualquiera en dos factores de forma que su diferencia sea mínima, escribiendo por convenio el menor delante del mayor.
¿Es única esta representación? Intenta demostrarlo o razonarlo.
Podemos llamar categoría rectangular C de un número N (la denotaremos por C(N) ) a la mínima diferencia (en valor absoluto) existente entre a y b al recorrer todas las factorizaciones de dos factores, es decir la diferencia entre el par de factores que se han propuesto aquí. Por ejemplo C(600)=25-24=1, C(120)=12-10=2, C(23)=23-1=22
Los números con C(N)=0 serán los cuadrados, y los de C(N)=1 los oblongos. En los números primos se cumplirá que C(p)=p-1
En la dirección
http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/propuestas/rutas/htm/ulam.htm
puedes consultar una curiosa relación de la función C(N) con la espiral de Ulam.
Observa estas factorizaciones: 24=4*6, 144=12*12, 600=24*25, 72=8*9,…
Los factores están elegidos de tal forma que dado un número (no necesariamente semiprimo) puedas adivinar qué factores te desean transmitir. Por ejemplo, ¿qué factores te transmite 120? Si has adivinado el método, sabrás que se trata de 120=10*12.
La idea es descomponer un número natural cualquiera en dos factores de forma que su diferencia sea mínima, escribiendo por convenio el menor delante del mayor.
¿Es única esta representación? Intenta demostrarlo o razonarlo.
Podemos llamar categoría rectangular C de un número N (la denotaremos por C(N) ) a la mínima diferencia (en valor absoluto) existente entre a y b al recorrer todas las factorizaciones de dos factores, es decir la diferencia entre el par de factores que se han propuesto aquí. Por ejemplo C(600)=25-24=1, C(120)=12-10=2, C(23)=23-1=22
Los números con C(N)=0 serán los cuadrados, y los de C(N)=1 los oblongos. En los números primos se cumplirá que C(p)=p-1
En la dirección
http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/propuestas/rutas/htm/ulam.htm
puedes consultar una curiosa relación de la función C(N) con la espiral de Ulam.
miércoles, 16 de diciembre de 2009
Primos, semiprimos y casi primos (2)
Las definiciones de semiprimo y k-casi primo nos permiten crear clases de equivalencia en los números naturales. Al conjunto de todos los k-casi primos se le representa por Pk. Así, P1 estará formado por los números primos, P2 por los semiprimos, P3 por los 3-casi primos, etc.
Conseguir esta clasificación con hoja de cálculo requiere partir de un algoritmo de factorización de números naturales (sólo consideraremos un nivel elemental) e incluirle un contador de factores primos.
La siguiente tabla se ha conseguido con un algoritmo de este tipo:
P1 P2 P3 P4 P5 P6
2 4 8 16 32 64
3 6 12 24 48 96
5 9 18 36 72 144
7 10 20 40 80 160
11 14 27 54 108 216
13 15 28 56 112 224
17 21 30 60 120 240
19 22 42 81 162 324
23 25 44 84 168 336
29 26 45 88 176 352
La primera columna está formada por primos, la segunda por semiprimos, la tercera por 3-casi primos, y así hasta k=6. Una curiosidad divertida es la de seguir la secuencia natural de números 1, 2, 3, 4, … en esta tabla e interpretar sus oscilaciones.
El núcleo del algoritmo es el de averiguar k, es decir, el número de factores primos de un número.
Copiamos a continuación las líneas fundamentales de este algoritmo:
Se supone que n es el número, f el factor primo que se va probando y m el contador que recogerá el número de factores:
f=1 (se comienza con factor 1)
while n>1 (esta condición controla el final del algoritmo)
f=f+1 (se prueba otro número)
while n/f=int(n/f) (se pregunta si ha encontrado un divisor)
m=m+1 (si es divisor, aumenta el contador)
n=n/f (se divide el número entre el divisor encontrado para acelerar la búsqueda)
wend wend
msgbox(m) (se comunica el resultado)
Es evidente que este algoritmo se ralentiza en cuanto n es un número de bastantes cifras, y de ahí la utilidad de los semiprimos en ciertas codificaciones.
Conseguir esta clasificación con hoja de cálculo requiere partir de un algoritmo de factorización de números naturales (sólo consideraremos un nivel elemental) e incluirle un contador de factores primos.
La siguiente tabla se ha conseguido con un algoritmo de este tipo:
P1 P2 P3 P4 P5 P6
2 4 8 16 32 64
3 6 12 24 48 96
5 9 18 36 72 144
7 10 20 40 80 160
11 14 27 54 108 216
13 15 28 56 112 224
17 21 30 60 120 240
19 22 42 81 162 324
23 25 44 84 168 336
29 26 45 88 176 352
La primera columna está formada por primos, la segunda por semiprimos, la tercera por 3-casi primos, y así hasta k=6. Una curiosidad divertida es la de seguir la secuencia natural de números 1, 2, 3, 4, … en esta tabla e interpretar sus oscilaciones.
El núcleo del algoritmo es el de averiguar k, es decir, el número de factores primos de un número.
Copiamos a continuación las líneas fundamentales de este algoritmo:
Se supone que n es el número, f el factor primo que se va probando y m el contador que recogerá el número de factores:
f=1 (se comienza con factor 1)
while n>1 (esta condición controla el final del algoritmo)
f=f+1 (se prueba otro número)
while n/f=int(n/f) (se pregunta si ha encontrado un divisor)
m=m+1 (si es divisor, aumenta el contador)
n=n/f (se divide el número entre el divisor encontrado para acelerar la búsqueda)
wend wend
msgbox(m) (se comunica el resultado)
Es evidente que este algoritmo se ralentiza en cuanto n es un número de bastantes cifras, y de ahí la utilidad de los semiprimos en ciertas codificaciones.
domingo, 13 de diciembre de 2009
Primos, semiprimos y casi primos (1)
Un número natural N es k-casi primo para otro natural k dado si la descomposición factorial de N contiene exactamente k números primos iguales o diferentes. Así, 27 es 3-casi primo, porque 27 =3*3*3, 225 es 4-casi primo, dado que 225 = 3*3*5*5.
Para k=1 tendremos los números primos, con un solo factor.
Para k=2 serán 2-casi primos los semiprimos, que son producto de dos factores primos, como 15=3*5, o 77=7*11.
Averiguar si un número es semiprimo equivale a descubrir sus dos factores, pero si estos son muy grandes, la operación puede exigir varios años de cómputo en un ordenador potente. Por ello se usan en el método RSA de encriptación de datos mediante claves públicas y privadas.
Profundizando algo más en el tema, con unos sencillos convenios se puede considerar que un número semiprimo nos da dos informaciones distintas de manera única. Por ejemplo, si convenimos en que cada número que recibamos por algún medio se considere como un producto de filas y columnas, con el número de filas no superior al de columnas, al recibir un número semiprimo podremos construir un rectángulo (una matriz) a partir de él de forma única.
Por ejemplo, si recibimos el número 91, lo podemos interpretar de forma única como el rectángulo 7*13. Es evidente que esto no ocurre con los demás números, como por ejemplo 63, que puede representar 7*9 o 3*21.
Esta propiedad permite transmitir ciertas informaciones de forma lineal simple. Si se recibe una serie de 35 dígitos como 27366524358291002738296634283912836, con el convenio anterior nos han enviado esta matriz:
2736652
4358291
0027382
9663428
3912836
Para k=1 tendremos los números primos, con un solo factor.
Para k=2 serán 2-casi primos los semiprimos, que son producto de dos factores primos, como 15=3*5, o 77=7*11.
Averiguar si un número es semiprimo equivale a descubrir sus dos factores, pero si estos son muy grandes, la operación puede exigir varios años de cómputo en un ordenador potente. Por ello se usan en el método RSA de encriptación de datos mediante claves públicas y privadas.
Profundizando algo más en el tema, con unos sencillos convenios se puede considerar que un número semiprimo nos da dos informaciones distintas de manera única. Por ejemplo, si convenimos en que cada número que recibamos por algún medio se considere como un producto de filas y columnas, con el número de filas no superior al de columnas, al recibir un número semiprimo podremos construir un rectángulo (una matriz) a partir de él de forma única.
Por ejemplo, si recibimos el número 91, lo podemos interpretar de forma única como el rectángulo 7*13. Es evidente que esto no ocurre con los demás números, como por ejemplo 63, que puede representar 7*9 o 3*21.
Esta propiedad permite transmitir ciertas informaciones de forma lineal simple. Si se recibe una serie de 35 dígitos como 27366524358291002738296634283912836, con el convenio anterior nos han enviado esta matriz:
2736652
4358291
0027382
9663428
3912836
jueves, 10 de diciembre de 2009
Teoría de las fracciones continuas
Si te han interesado los temas que hemos desarrollado (con la brevedad propia de un blog) sobre fracciones continuas, te ofrecemos un documento que expone la teoría de una forma sistemática y muy bien presentada.
Es un trabajo que nos ha enviado nuestro colaborador y amigo Rafael Parra Machío, que ya ha publicado comentarios muy interesantes en este blog.
Lo podéis descargar desde la dirección
http://www.hojamat.es/parra/fraccon.pdf
¡Buen aprendizaje!
Es un trabajo que nos ha enviado nuestro colaborador y amigo Rafael Parra Machío, que ya ha publicado comentarios muy interesantes en este blog.
Lo podéis descargar desde la dirección
http://www.hojamat.es/parra/fraccon.pdf
¡Buen aprendizaje!
viernes, 4 de diciembre de 2009
Fracciones continuas (3) - Ecuaciones diofánticas
Una aplicación importante de las fracciones continuas y sus reducidas es la de resolver ecuaciones diofánticas lineales del tipo Ax+By=C, en las que C es múltiplo del MCD de A y B (que son las que poseen solución). Quiere esto decir que A,B y C se pueden simplificar hasta conseguir que MCD(A,B)=1. En lo que sigue supondremos que esto se cumple.
Efectivamente, en una entrada anterior se vio que la diferencia entre dos reducidas consecutivas equivalía a una fracción de numerador la unidad y de denominador el producto de sus denominadores. Esta propiedad también se cumple entre la última reducida y la fracción dada.
Vemos cómo se aprovecha esta propiedad para resolver la ecuación.
Sea, por ejemplo, la ecuación 244X+108Y=112.
Simplificamos: 61X+27Y=28, con MCD(61,27)=1
Buscamos las reducidas de la fracción 61/27 y elegimos la última 9/4
Y se cumplirá, según la propiedad citada, que 61*4-27*9=1, luego 4 y -9 serán las soluciones de 61X+27Y=1. Bastará multiplicar por el término independiente 28 para obtener una solución: X=4*28 = 112 e Y=-9*28 = -252
Las demás soluciones se obtienen mediante las paramétricas.
X=112-27t
Y=-252+61t
Si se desean soluciones positivas deberemos ajustar el parámetro t
Efectivamente, en una entrada anterior se vio que la diferencia entre dos reducidas consecutivas equivalía a una fracción de numerador la unidad y de denominador el producto de sus denominadores. Esta propiedad también se cumple entre la última reducida y la fracción dada.
Vemos cómo se aprovecha esta propiedad para resolver la ecuación.
Sea, por ejemplo, la ecuación 244X+108Y=112.
Simplificamos: 61X+27Y=28, con MCD(61,27)=1
Buscamos las reducidas de la fracción 61/27 y elegimos la última 9/4
Y se cumplirá, según la propiedad citada, que 61*4-27*9=1, luego 4 y -9 serán las soluciones de 61X+27Y=1. Bastará multiplicar por el término independiente 28 para obtener una solución: X=4*28 = 112 e Y=-9*28 = -252
Las demás soluciones se obtienen mediante las paramétricas.
X=112-27t
Y=-252+61t
Si se desean soluciones positivas deberemos ajustar el parámetro t
miércoles, 25 de noviembre de 2009
Logaritmo entero (3)
Si deseas investigar con el logaritmo entero (función sofpr(n)) puedes usar este código en Basic para implementarlo en Excel o en Calc de OpenOffice.org. Es bastante eficiente, y similar al de encontrar todos los factores primos de un número.
Para no complicarlo no se han usado los tipos de datos.
Los comentarios van entre corchetes y en verde
Public function sofpr(n) [se declara pública para poderla usar en cualquier celda]
Dim ene,f,c,s [creación de variables]
ene=n [la variable ene recoge el argumento para preservar su valor]
f=1 [contendrá los factores primos]
s=0 [contendrá la suma de primos]
[bucle para encontrar los factores primos y sumarlos]
while ene>1 [la variable ene va disminuyendo en el algoritmo]
f=f+1 [la variable f va aumentando para buscar factores primos]
[bucle para determinar si f es factor primo y si se repite]
while ene/f=int(ene/f) [determina si f es divisor y busca sus repeticiones]
ene=ene/f [se divide ene entre el factor, que ya se sabe que lo es]
s=s+f [se incorpora f a la suma de primos]
wend [fin de bucle]
wend [fin de bucle]
sofpr=s [la función sofpr recoge el valor de s]
End function
Para no complicarlo no se han usado los tipos de datos.
Los comentarios van entre corchetes y en verde
Public function sofpr(n) [se declara pública para poderla usar en cualquier celda]
Dim ene,f,c,s [creación de variables]
ene=n [la variable ene recoge el argumento para preservar su valor]
f=1 [contendrá los factores primos]
s=0 [contendrá la suma de primos]
[bucle para encontrar los factores primos y sumarlos]
while ene>1 [la variable ene va disminuyendo en el algoritmo]
f=f+1 [la variable f va aumentando para buscar factores primos]
[bucle para determinar si f es factor primo y si se repite]
while ene/f=int(ene/f) [determina si f es divisor y busca sus repeticiones]
ene=ene/f [se divide ene entre el factor, que ya se sabe que lo es]
s=s+f [se incorpora f a la suma de primos]
wend [fin de bucle]
wend [fin de bucle]
sofpr=s [la función sofpr recoge el valor de s]
End function
domingo, 4 de octubre de 2009
Fracciones continuas (2) - Reducidas
En una entrada anterior desarrollamos la fracción 1280/345 en forma de fracción continua, formada por los cocientes [3,1,2,2,4,2], como puedes comprobar fácilmente con las hojas de cálculo fraccont.ods y fraccont.xls.
Debajo de los cocientes aparecen una serie de fracciones, llamadas reducidas o convergentes, que se van aproximando a 1280/245: 3/1, 4/1, 11/3, 26/7, 115/31 y 256/69, que resulta ser la fracción desarrollada, 1280/345, pero simplificada.
Puedes ver esta aproximación en los desarrollos decimales que figuran debajo en la hoja de cálculo.
Estas reducidas se forman calculando fracciones parciales de izquierda a derecha:
3=3; 3+1/1=4; 3+1/(1+1/2)=11/3…
La hoja de cálculo fraccont.ods (en su hoja dedicada a números fraccionarios) logra estas reducidas mediante un algoritmo clásico llamado de “los cumulantes”. Consiste en construir dos sucesiones recurrentes del tipo
Pn = pn-1*an+pn-2
siendo an la sucesión de cocientes de la fracción continua, precedidos en la primera fila por 0 y 1 y en la segunda por 1 y 0. Como ejemplo, si se aplican los cumulantes a la sucesión 1,1,1,1,1…. Resulta la sucesión de Fibonacci 1,1,2,3,5,8…
Puedes seguir estos cumulantes en las filas que contienen los numeradores y denominadores de las reducidas.
Las reducidas permiten la aproximación a una fracción con numerador y denominador grandes mediante otras que están construidas con números más pequeños. Esta utilidad la usaban los torneros cuando carecían de ruedas de determinado número de dientes y debían sustituirlas, con un pequeño error, por otras ruedas más pequeñas.
Por ejemplo, si deseamos que unos engranajes produzcan 2009 revoluciones en un eje y 2000 en otro, sus números de dientes deben seguir la proporción 2009/2000, pero se pueden sustituir por 223/222 con un error inferior a 0,000005.
La reducidas son alternativamente mayores y menores que la fracción dada, y se acercan a ella, pues la diferencia entre dos reducidas es siempre igual a la unidad dividida entre el producto de sus denominadores.
Debajo de los cocientes aparecen una serie de fracciones, llamadas reducidas o convergentes, que se van aproximando a 1280/245: 3/1, 4/1, 11/3, 26/7, 115/31 y 256/69, que resulta ser la fracción desarrollada, 1280/345, pero simplificada.
Puedes ver esta aproximación en los desarrollos decimales que figuran debajo en la hoja de cálculo.
Estas reducidas se forman calculando fracciones parciales de izquierda a derecha:
3=3; 3+1/1=4; 3+1/(1+1/2)=11/3…
La hoja de cálculo fraccont.ods (en su hoja dedicada a números fraccionarios) logra estas reducidas mediante un algoritmo clásico llamado de “los cumulantes”. Consiste en construir dos sucesiones recurrentes del tipo
Pn = pn-1*an+pn-2
siendo an la sucesión de cocientes de la fracción continua, precedidos en la primera fila por 0 y 1 y en la segunda por 1 y 0. Como ejemplo, si se aplican los cumulantes a la sucesión 1,1,1,1,1…. Resulta la sucesión de Fibonacci 1,1,2,3,5,8…
Puedes seguir estos cumulantes en las filas que contienen los numeradores y denominadores de las reducidas.
Las reducidas permiten la aproximación a una fracción con numerador y denominador grandes mediante otras que están construidas con números más pequeños. Esta utilidad la usaban los torneros cuando carecían de ruedas de determinado número de dientes y debían sustituirlas, con un pequeño error, por otras ruedas más pequeñas.
Por ejemplo, si deseamos que unos engranajes produzcan 2009 revoluciones en un eje y 2000 en otro, sus números de dientes deben seguir la proporción 2009/2000, pero se pueden sustituir por 223/222 con un error inferior a 0,000005.
La reducidas son alternativamente mayores y menores que la fracción dada, y se acercan a ella, pues la diferencia entre dos reducidas es siempre igual a la unidad dividida entre el producto de sus denominadores.
sábado, 5 de septiembre de 2009
Fracciones continuas (1) – Definición
Durante este otoño iremos comentando una técnica muy poderosa pero algo olvidada, que es la de las fracciones continuas. Con ellas puedes simplificar fracciones, aproximar números irracionales, resolver ecuaciones diofánticas, etc. Para no aburrir a nuestros visitantes, se irán publicando de forma alternada con otros temas de más actualidad.
Llamamos fracción continua a la expresada de esta forma:
donde a es entero y b, c…son enteros positivos llamados cocientes. Toda fracción ordinaria se puede expresar de esta forma, y todo número irracional admite aproximaciones mediante desarrollos de este tipo. Las fracciones continuas se usan cuando se desea manejar una representación de los números reales independiente del sistema de numeración.
Por comodidad tipográfica las fracciones continuas se representan por el conjunto de sus cocientes: [a,b,c,d]
No es este blog el espacio más adecuado para estudiar todo su desarrollo teórico, que puedes encontrar en los siguientes enlaces:
http://es.wikipedia.org/wiki/Fracción_continua
http://sisbib.unmsm.edu.pe/BibVirtual/monografias/Basic/alanya_ps/contenido.htm
Nuestro interés aquí será la implementación de los algoritmos necesarios en hoja de cálculo para desarrollar un número en fracciones continuas y las aplicaciones que derivan de ello.
Si consultas la teoría descubrirás que los cocientes a, b, c,… son los que aparecen en el algoritmo de Euclides para el cálculo del m.c.d. de dos números. Así, por ejemplo, para encontrar el m.c.d. de 345 y 1280, en el algoritmo se obtienen los siguientes cocientes: 3,1,2,2,4,2
En el desarrollo mediante fracciones continuas de 1280/345 vuelven a aparecer los mismos cocientes 3,1,2,2,….¡porque se trata del mismo algoritmo orientado de forma diferente! En la siguiente imagen, capturada de la hoja de cálculo fraccont.ods (En Excel fraccont.xls),
puedes comprobar la evidente igualdad de la serie de cocientes. Comprueba que, efectivamente, es válido este desarrollo:
Expresado de otra forma: 1280/345 = [3,1,2,2,4,2]
Por tanto, el encontrar el MCD de dos números m y n se puede simultanear con el desarrollo en fracciones continuas.
(Continuará)
Llamamos fracción continua a la expresada de esta forma:
donde a es entero y b, c…son enteros positivos llamados cocientes. Toda fracción ordinaria se puede expresar de esta forma, y todo número irracional admite aproximaciones mediante desarrollos de este tipo. Las fracciones continuas se usan cuando se desea manejar una representación de los números reales independiente del sistema de numeración.Por comodidad tipográfica las fracciones continuas se representan por el conjunto de sus cocientes: [a,b,c,d]
No es este blog el espacio más adecuado para estudiar todo su desarrollo teórico, que puedes encontrar en los siguientes enlaces:
http://es.wikipedia.org/wiki/Fracción_continua
http://sisbib.unmsm.edu.pe/BibVirtual/monografias/Basic/alanya_ps/contenido.htm
Nuestro interés aquí será la implementación de los algoritmos necesarios en hoja de cálculo para desarrollar un número en fracciones continuas y las aplicaciones que derivan de ello.
Si consultas la teoría descubrirás que los cocientes a, b, c,… son los que aparecen en el algoritmo de Euclides para el cálculo del m.c.d. de dos números. Así, por ejemplo, para encontrar el m.c.d. de 345 y 1280, en el algoritmo se obtienen los siguientes cocientes: 3,1,2,2,4,2
En el desarrollo mediante fracciones continuas de 1280/345 vuelven a aparecer los mismos cocientes 3,1,2,2,….¡porque se trata del mismo algoritmo orientado de forma diferente! En la siguiente imagen, capturada de la hoja de cálculo fraccont.ods (En Excel fraccont.xls),
puedes comprobar la evidente igualdad de la serie de cocientes. Comprueba que, efectivamente, es válido este desarrollo:
Expresado de otra forma: 1280/345 = [3,1,2,2,4,2]
Por tanto, el encontrar el MCD de dos números m y n se puede simultanear con el desarrollo en fracciones continuas.
(Continuará)
viernes, 12 de junio de 2009
Múltiplo de cuadrados
Idea para el aula
El número 144 es el entero positivo más pequeño que es divisible entre 1, 4, 9 y 16, los cuatro primeros cuadrados. ¿Cuál es el número más pequeño que es múltiplo de los 20 primeros cuadrados? La solución es 54192375991353600, pero ¿cómo encontrarlo?
Llegar hasta ese número puede resultar complicado, en parte porque las calculadoras y hojas de cálculo pueden no llegar a gestionar tantas cifras. Por eso, sería preferible establecer una especie de competición en el aula para ver quién consigue el número más alto que sea múltiplo de los N primeros cuadrados. Salvo algún error por nuestra parte, esta es la solución:
Se pueden abordar varias estrategias:
* Multiplicar todos los cuadrados y después eliminar factores primos comunes. Es un método poco fiable y sujeto a errores y distracciones.
* Usar el mínimo común múltiplo. Es la mejor estrategia, pero hay que organizarla bien. Con una hoja de cálculo no es difícil, pero se produce desbordamiento de cifras.
* Ir multiplicando cada solución por los factores nuevos que aporta la siguiente. Por ejemplo, la solución para 324, si se multiplica por 361, nos da la solución para 400 ¿por qué? Es una estrategia prometedora, pero quizás requiera una cierta madurez.
* Cualquier otra que se le ocurra al alumnado, basada en ensayo y error, pero debe completarse con alguna prueba de que el número encontrado es el más pequeño posible.
Para que la experiencia tenga éxito no se deben dar pistas, tan sólo asegurarse de que se ha entendido bien la propuesta. Si acaso, presentar el número 144 como solución para N=4. Después hay que dejar que la creatividad y el trabajo en grupo hagan su efecto. Tan sólo se debe corregir un camino que no lleve a ninguna parte, para evitar frustraciones.
Si se logra algo distinto de un fracaso absoluto, se puede completar el trabajo con puestas en común, entradas de blog o confección de una página en la web del centro de enseñanza, en las que se vuelquen los distintos resultados, métodos y dificultades.
El número 144 es el entero positivo más pequeño que es divisible entre 1, 4, 9 y 16, los cuatro primeros cuadrados. ¿Cuál es el número más pequeño que es múltiplo de los 20 primeros cuadrados? La solución es 54192375991353600, pero ¿cómo encontrarlo?
Llegar hasta ese número puede resultar complicado, en parte porque las calculadoras y hojas de cálculo pueden no llegar a gestionar tantas cifras. Por eso, sería preferible establecer una especie de competición en el aula para ver quién consigue el número más alto que sea múltiplo de los N primeros cuadrados. Salvo algún error por nuestra parte, esta es la solución:
Se pueden abordar varias estrategias:
* Multiplicar todos los cuadrados y después eliminar factores primos comunes. Es un método poco fiable y sujeto a errores y distracciones.
* Usar el mínimo común múltiplo. Es la mejor estrategia, pero hay que organizarla bien. Con una hoja de cálculo no es difícil, pero se produce desbordamiento de cifras.
* Ir multiplicando cada solución por los factores nuevos que aporta la siguiente. Por ejemplo, la solución para 324, si se multiplica por 361, nos da la solución para 400 ¿por qué? Es una estrategia prometedora, pero quizás requiera una cierta madurez.
* Cualquier otra que se le ocurra al alumnado, basada en ensayo y error, pero debe completarse con alguna prueba de que el número encontrado es el más pequeño posible.
Para que la experiencia tenga éxito no se deben dar pistas, tan sólo asegurarse de que se ha entendido bien la propuesta. Si acaso, presentar el número 144 como solución para N=4. Después hay que dejar que la creatividad y el trabajo en grupo hagan su efecto. Tan sólo se debe corregir un camino que no lleve a ninguna parte, para evitar frustraciones.
Si se logra algo distinto de un fracaso absoluto, se puede completar el trabajo con puestas en común, entradas de blog o confección de una página en la web del centro de enseñanza, en las que se vuelquen los distintos resultados, métodos y dificultades.
sábado, 30 de mayo de 2009
Función “dígitos”
Si escribimos la serie de números 1,2,3,….N-1,N, ¿cuántos dígitos hemos escrito en el sistema decimal de numeración?
Esta cuestión se puede expresar de forma inversa mediante un problema:
Para numerar las páginas de un libro hemos tenido que escribir 702 dígitos ¿Cuántas páginas tiene el libro?
Es interesante estudiar la relación entre un número natural N y los dígitos empleados en escribir desde 1 hasta N. ¿Cómo se te ocurre abordar esta cuestión? Damos tres pistas:
(a) Recuento simple
Deberemos contar un dígito por cada número escrito, otro por cada número a partir de 10, otro a partir de 100, etc. Esto nos daría, para el número de tres cifras del ejemplo, la expresión
N+N-9+N-99 = 702; 3N=810; N=270
luego el libro tiene 270 páginas.
(b) Truco de Hoja de Cálculo
A partir de la resolución anterior, ¿podríamos construir una función tal que dado un número N nos devolviera el número de dígitos empleados en la sucesión 1..N?
Aprovechamos un truco. En las hojas de cálculo una igualdad o desigualdad verdadera posee el valor 1 y la falsa 0. Podríamos entonces construir esta función:
D(N)=N+(N-9)*(N>9)+(N-99)*(N>99)+(N-999)*(N>999)+(N-9999)*(N>9999)
que nos devolvería el valor deseado para cada entero positivo menor que 100000.
Así se puede construir una tabla para esta función en Hoja de Cálculo
(c) Uso en el aula
Esta función definida en Z puede usarse en las clases de Matemáticas, como ejemplo de
* Función definida entre números enteros
* Definición por intervalos
* Ejemplo de linealidad a trozos
Este tipo de ejemplos ayuda a extender el concepto de función, que a veces se queda tan solo en funciones reales, continuas y de definición simple.
¿Te atreverías con la definición de la función inversa de esta? Es evidente que su dominio no contendría a todos los números naturales.
Esta cuestión se puede expresar de forma inversa mediante un problema:
Para numerar las páginas de un libro hemos tenido que escribir 702 dígitos ¿Cuántas páginas tiene el libro?
Es interesante estudiar la relación entre un número natural N y los dígitos empleados en escribir desde 1 hasta N. ¿Cómo se te ocurre abordar esta cuestión? Damos tres pistas:
(a) Recuento simple
Deberemos contar un dígito por cada número escrito, otro por cada número a partir de 10, otro a partir de 100, etc. Esto nos daría, para el número de tres cifras del ejemplo, la expresión
N+N-9+N-99 = 702; 3N=810; N=270
luego el libro tiene 270 páginas.
(b) Truco de Hoja de Cálculo
A partir de la resolución anterior, ¿podríamos construir una función tal que dado un número N nos devolviera el número de dígitos empleados en la sucesión 1..N?
Aprovechamos un truco. En las hojas de cálculo una igualdad o desigualdad verdadera posee el valor 1 y la falsa 0. Podríamos entonces construir esta función:
D(N)=N+(N-9)*(N>9)+(N-99)*(N>99)+(N-999)*(N>999)+(N-9999)*(N>9999)
que nos devolvería el valor deseado para cada entero positivo menor que 100000.
Así se puede construir una tabla para esta función en Hoja de Cálculo
(c) Uso en el aulaEsta función definida en Z puede usarse en las clases de Matemáticas, como ejemplo de
* Función definida entre números enteros
* Definición por intervalos
* Ejemplo de linealidad a trozos
Este tipo de ejemplos ayuda a extender el concepto de función, que a veces se queda tan solo en funciones reales, continuas y de definición simple.
¿Te atreverías con la definición de la función inversa de esta? Es evidente que su dominio no contendría a todos los números naturales.
sábado, 23 de mayo de 2009
Una exploración matemática
En la entrada número 120 del siempre interesante blog de Claudio se hacía una propuesta que esencialmente consistía en buscar los números que son cuadrados perfectos y que su doble aumentado en una unidad también lo es, como 144=122 y 144*2+1=289 = 172.
En un primer comentario, Pablo Sussi proponía las soluciones 02, 22, 122, 702, 4082 y 23782 con una la ley de formación para las bases an+1 = 6an – an-1. Una entrada posterior contenía un enlace a una página de sucesiones de números enteros muy popular.
Navegando un poco y siguiendo enlaces sucesivos al propuesto descubrí que las soluciones 0, 4, 144, 4900, 166464, … divididas entre 4 coincidían con los números enteros que son cuadrados y triangulares a la vez (se puede prescindir del 0): 1, 36, 1225, 41616,…
Recordé de pronto que estos números se encuentran mediante la ecuación de Pell 8x2+1=y2, una de cuyas soluciones es x=1, y=3. De esta forma se me aclaró bastante la cuestión, y os cuento el proceso que seguí mediante una serie de propuestas encadenadas complementarias a las de Claudio.
(1) Demuestra que si 2n2 + 1 = m2, entonces n2/4 es también cuadrado y triangular.
(2) Demuestra que los números x que son cuadrados y triangulares a la vez coinciden con los valores de x2 que son soluciones de la ecuación de Pell 8x2+1=y2
(3) Una de las soluciones de la ecuación citada es x1=1, y1=3. Según la teoría correspondiente a las ecuaciones de Pell, las demás soluciones de esta ecuación vienen dadas por la igualdad
Usa esta propiedad para encontrar las soluciones de x, que serán 1, 6, 35, 204,…., que elevadas al cuadrado coincidirán con los números cuadrados y triangulares a la vez 1, 36, 1225, 41616,…que, a su vez, multiplicados por 4, resultarán ser las soluciones de 2n2 + 1 = m2, 4, 144, 4900, 166464…
(4) Usa la igualdad del apartado anterior para demostrar esta fórmula doble de recurrencia:
yn=8xn-1+3yn-1, xn=3xn-1+yn-1
o, en forma matricial:
Su aplicación reiterada nos permitirá encontrar los valores (1,3), (6,17), (35,99)…
Convierte esas dos fórmulas de recurrencia en una sola para xn, y te resultará
xn=6xn-1-xn-2, que coincide con la propuesta por Pablo Sussi para sus dobles 0, 2, 12, 72,…
(5) ¿Por qué el cociente entre las x parece tender a 3+2Raíz(2)?
Esto ya me coge cansado, pero creo que nos podemos basar en que los cocientes entre y y x cumplen qn = 6-1/qn-1, que nos lleva, tomando límites para n tendiendo a infinito, a la ecuación x = 6-1/x, una de cuyas soluciones es 3+2RAÍZ(2), que es la que vale al ser creciente la sucesión. Así que la conjetura de Claudio es cierta, si es que no he “tropezado” en algún paso. Si observáis algún error no dudéis en advertirme.
En un primer comentario, Pablo Sussi proponía las soluciones 02, 22, 122, 702, 4082 y 23782 con una la ley de formación para las bases an+1 = 6an – an-1. Una entrada posterior contenía un enlace a una página de sucesiones de números enteros muy popular.
Navegando un poco y siguiendo enlaces sucesivos al propuesto descubrí que las soluciones 0, 4, 144, 4900, 166464, … divididas entre 4 coincidían con los números enteros que son cuadrados y triangulares a la vez (se puede prescindir del 0): 1, 36, 1225, 41616,…
Recordé de pronto que estos números se encuentran mediante la ecuación de Pell 8x2+1=y2, una de cuyas soluciones es x=1, y=3. De esta forma se me aclaró bastante la cuestión, y os cuento el proceso que seguí mediante una serie de propuestas encadenadas complementarias a las de Claudio.
(1) Demuestra que si 2n2 + 1 = m2, entonces n2/4 es también cuadrado y triangular.
(2) Demuestra que los números x que son cuadrados y triangulares a la vez coinciden con los valores de x2 que son soluciones de la ecuación de Pell 8x2+1=y2
(3) Una de las soluciones de la ecuación citada es x1=1, y1=3. Según la teoría correspondiente a las ecuaciones de Pell, las demás soluciones de esta ecuación vienen dadas por la igualdad
Usa esta propiedad para encontrar las soluciones de x, que serán 1, 6, 35, 204,…., que elevadas al cuadrado coincidirán con los números cuadrados y triangulares a la vez 1, 36, 1225, 41616,…que, a su vez, multiplicados por 4, resultarán ser las soluciones de 2n2 + 1 = m2, 4, 144, 4900, 166464…
(4) Usa la igualdad del apartado anterior para demostrar esta fórmula doble de recurrencia:
yn=8xn-1+3yn-1, xn=3xn-1+yn-1
o, en forma matricial:
Su aplicación reiterada nos permitirá encontrar los valores (1,3), (6,17), (35,99)…
Convierte esas dos fórmulas de recurrencia en una sola para xn, y te resultará
xn=6xn-1-xn-2, que coincide con la propuesta por Pablo Sussi para sus dobles 0, 2, 12, 72,…
(5) ¿Por qué el cociente entre las x parece tender a 3+2Raíz(2)?
Esto ya me coge cansado, pero creo que nos podemos basar en que los cocientes entre y y x cumplen qn = 6-1/qn-1, que nos lleva, tomando límites para n tendiendo a infinito, a la ecuación x = 6-1/x, una de cuyas soluciones es 3+2RAÍZ(2), que es la que vale al ser creciente la sucesión. Así que la conjetura de Claudio es cierta, si es que no he “tropezado” en algún paso. Si observáis algún error no dudéis en advertirme.
miércoles, 20 de mayo de 2009
La mitad, cuadrado, el tercio, cubo
Encuentra los primeros números naturales N que admiten estas dos descomposiciones:
N= 2n2 = 3m3
siendo n y m también naturales (su mitad es cuadrado perfecto y su tercera parte cubo perfecto)
Es necesario recorrer los posibles factores primos de m y de n y sus exponentes.
Una solución es N=41472, pero existe otra menor.
Si has aprendido a hacerlo, prueba con
N= 2n2 = 5m5
Una solución es un número “muy redondo”
Si tu interés no ha sufrido merma, aborda el que
N= 3n3 = 5m5
Quizás la primera solución tenga nueve cifras
N= 2n2 = 3m3
siendo n y m también naturales (su mitad es cuadrado perfecto y su tercera parte cubo perfecto)
Es necesario recorrer los posibles factores primos de m y de n y sus exponentes.
Una solución es N=41472, pero existe otra menor.
Si has aprendido a hacerlo, prueba con
N= 2n2 = 5m5
Una solución es un número “muy redondo”
Si tu interés no ha sufrido merma, aborda el que
N= 3n3 = 5m5
Quizás la primera solución tenga nueve cifras
miércoles, 6 de mayo de 2009
Números automórficos
Los números de la primera columna de la siguiente tabla son automórficos.
Si los estudias adivinarás pronto qué propiedad tienen para recibir este nombre.
¿Cómo podríamos encontrarlos con una hoja de cálculo? Para construir la tabla que se incluye se han usado macros, pero se puede prescindir de ellas. Puedes crear una tabla de números consecutivos y después aplicarles una condición.
Esta tabla es complementaria de la anterior. ¿Qué relación tiene con ella?
Si los estudias adivinarás pronto qué propiedad tienen para recibir este nombre.¿Cómo podríamos encontrarlos con una hoja de cálculo? Para construir la tabla que se incluye se han usado macros, pero se puede prescindir de ellas. Puedes crear una tabla de números consecutivos y después aplicarles una condición.
Esta tabla es complementaria de la anterior. ¿Qué relación tiene con ella?
jueves, 16 de abril de 2009
Algoritmo derivado de un problema
2758620689655172413793103448 * 3=8275862068965517241379310344
¿Qué tiene de particular este resultado?
Hace días leí en un libro de problemas el siguiente:
Encontrar un número entero que termine en 6, y que si esa cifra 6 se mueve hasta situarse delante del resto de las cifras del número, el resultado equivalga a multiplicar ese número por 4: 6abc..de=4*abc..de6
Un caso similar es el número 205128, que si movemos el 8 a la primera posición 820512 el resultado equivale a cuatro veces el primitivo: 205128*4=820512
¿Cuál es la forma más rápida de resolver este tipo de problemas?
Intenté analizarlo por la parte izquierda, y aunque llegué a alguna solución, vi que resultaba mucho más eficiente trabajar por las unidades, después las decenas, etc. En efecto, si las unidades son 6, al multiplicar por 4 han de resultar 4 unidades. Luego el número termina en 4. Por un razonamiento similar, las decenas han de valer 8 (4*4+2=18), las centenas…seguí así hasta encontrar la solución. ¿Puedes encontrarla tú?
Este razonamiento se puede convertir en un algoritmo, en el que dada la cifra de las unidades (la que ha de moverse) y el número a multiplicar te devuelva el resultado, si es que existe. El problema es que hay que darle dos condiciones de parada, y que puede no acabar nunca. Si lo implementamos en hoja de cálculo el límite es el número de filas o columnas.
Si te animas a encontrar un procedimiento de resolución e incluso a convertirlo en algoritmo, intenta conseguir resultados tan espectaculares como el que encabeza esta entrada.
Aquí tienes otro resultado del algoritmo
Equivale a encontrar que 1304347826086956521739 * 7=9130434782608695652173
¿Existirán datos que produzcan algoritmos sin parada?
domingo, 12 de abril de 2009
Pasatiempo para usar en el aula
Hoy presentamos un pasatiempo tomado del libro “Estimula tu inteligencia natural”, de Bragdon y Fellows. Es sencillo adaptarlo a hoja de cálculo y usarlo en el aula, y por eso tiene un sitio en este blog.
Es un pasatiempo fácil, pero que hace pensar y a veces se complica. Consiste en descubrir la pauta de cálculo que siguen las cuatro filas de una tabla numérica y aplicarla a encontrar el valor adecuado que ha de tener la celda que contiene la interrogación.
Los resultados de la última columna se obtienen a partir de las dos primeras y de un número desconocido mediante las operaciones de sumar, restar y multiplicar. Hay que adivinar dos operaciones y el número desconocido. En la tabla de la imagen, la operación es A*B-9, y por tanto el valor que ha de situarse en el interrogante es 9.
Aunque es un pasatiempo sencillo, en él se desarrollan tres habilidades fundamentales:
(a) Descubrimiento de regularidades
(b) Análisis de la relación entre resultado y datos. Estudiando las variaciones de estos y su influencia en los resultados, se puede conjeturar qué operaciones han intervenido.
(c) Uso de las operaciones inversas para descubrir el dato que falta.
Como es costumbre en este blog, no se indica ni nivel de enseñanza ni el momento de uso de este pasatiempo en clase.
Para quienes deseéis practicar con él, en la página http://www.hojamat.es disponéis de la versión en OpenOffice.org Calc y en Excel 2003.
Es un pasatiempo fácil, pero que hace pensar y a veces se complica. Consiste en descubrir la pauta de cálculo que siguen las cuatro filas de una tabla numérica y aplicarla a encontrar el valor adecuado que ha de tener la celda que contiene la interrogación.
Los resultados de la última columna se obtienen a partir de las dos primeras y de un número desconocido mediante las operaciones de sumar, restar y multiplicar. Hay que adivinar dos operaciones y el número desconocido. En la tabla de la imagen, la operación es A*B-9, y por tanto el valor que ha de situarse en el interrogante es 9.
Aunque es un pasatiempo sencillo, en él se desarrollan tres habilidades fundamentales:
(a) Descubrimiento de regularidades
(b) Análisis de la relación entre resultado y datos. Estudiando las variaciones de estos y su influencia en los resultados, se puede conjeturar qué operaciones han intervenido.
(c) Uso de las operaciones inversas para descubrir el dato que falta.
Como es costumbre en este blog, no se indica ni nivel de enseñanza ni el momento de uso de este pasatiempo en clase.
Para quienes deseéis practicar con él, en la página http://www.hojamat.es disponéis de la versión en OpenOffice.org Calc y en Excel 2003.
jueves, 26 de marzo de 2009
Primos reversibles (Primo-Omirp)
Es muy popular la definición de los pares de números primo-omirp, o primos reversibles, que son aquellos en los que uno se forma invirtiendo las cifras del otro y que ambos son primos, como los pares 199 y 991, 7589 y 9857. Se suelen excluir los capicúas.
No vamos a insistir en el concepto, que incluso se recoge en la Wikipedia, sino en la posibilidad de encontrarlos con Hoja de Cálculo.
Para ello necesitamos las dos funciones que definimos en una entrada anterior: INVERTIR_CIFRAS y ESCAPICUA. Además, deberemos contar con la función ESPRIMO, uno de cuyos posibles códigos incluimos al final de la entrada.
Si te animas, encontrarás (excluyendo capicúas) 4 parejas de dos cifras (13 – 31, 17 – 71, 37 – 73, 79 – 97), 14 parejas de tres cifras, desde 107-701 hasta 991-199, y 102 de cuatro cifras. Puedes ordenar bien los cálculos usando las mencionadas funciones (de ESCAPICUA puedes prescindir)
Código de la función ESPRIMO 'Devuelve un 1 si es primo y un 0 si es compuesto
Public function esprimo(a) as integer
dim ai as long
dim n as long
dim es ai=abs(int(a)
if ai=1 then es=0
if ai=2 then es=1
if ai>2 then
n=2:es=1
while n<=sqr(ai) and es=1
if ai MOD n=0 then es=0
n=n+1
wend
endif
esprimo=es
end function
miércoles, 11 de marzo de 2009
Proporciones relativas
“Recientes estudios estadísticos han puesto de manifiesto que de cada veinte maltratadores condenados, sólo uno sobrepasaba los dos metros de estatura. Aconsejen, por tanto, a sus amigas y conocidas que se emparejen con hombres altos, que vivirán más tranquilas”
¿Qué te parece esta conclusión? Descabellada, ¿no? Pues en nuestra vida diaria a veces razonamos de forma similar. El otro día oí en la televisión este comentario: “De cada 50.000 accidentes de tráfico, sólo en 400 estuvieron involucrados autocares, lo que demuestra que son más seguros que los turismos” Estoy totalmente de acuerdo con la última afirmación, pero no con el modo de obtenerla. Deberían darnos el dato del número de turismos y autocares que circulan por término medio en nuestras carreteras. De esa forma, dividiríamos el número de accidentados entre el número total de cada clase, y así obtendríamos la proporción de accidentes de cada uno, lo que nos permitiría evaluar qué porcentaje es mayor. En este caso, seguro que sería el de turismos, pero con los datos de la noticia eso no se deduce.
Otra afirmación sobre tráfico: “Las carreteras secundarias son más peligrosas que las autovías, porque en aquellas se producen muchos más accidentes de tráfico”. ¿No habría que dividir entre el número de kilómetros existentes en España de cada clase de vía? Y si alguien nos dijera que los camiones son más peligrosos de noche, porque a esas horas están más involucrados en accidentes que los turismos, ¿no necesitaríamos otros datos? ¿no hay tramos en los que de noche prácticamente sólo circulan camiones?
Cuando no vivía en Madrid, los amigos y familiares que viajaban a la capital nos traían de regalo un décimo de lotería, porque “en Madrid toca más”. El mismo fenómeno se da cuando se compra la lotería en Sort, fiados en una mayor probabilidad de obtener premio, ya que en esa localidad se dan muchos. A pocas personas se les ocurre comparar los premios con los números vendidos en esas ciudades.
El error básico que cometemos en estos razonamientos es el de usar cantidades absolutas, y no proporciones relativas o porcentajes. Para comparar la incidencia de un fenómeno cualquiera deberíamos plantearnos una tabla de doble entrada, rellenarla con las cantidades absolutas y después proceder a convertirlas en porcentajes.
Veamos esta, que podemos imaginar perteneciente a una empresa
Si entráramos en la sala de fumar veríamos muchos más hombres que mujeres, y sin embargo sólo fuma el 42,5% de hombres frente a un 48,2% de mujeres.
Ya sabes, ten cuidado: si preguntas en tu parque a la gente que pasea si es diabética o no, no deduzcas de los resultados que a los diabéticos no les gusta tomar el sol.
Otra afirmación sobre tráfico: “Las carreteras secundarias son más peligrosas que las autovías, porque en aquellas se producen muchos más accidentes de tráfico”. ¿No habría que dividir entre el número de kilómetros existentes en España de cada clase de vía? Y si alguien nos dijera que los camiones son más peligrosos de noche, porque a esas horas están más involucrados en accidentes que los turismos, ¿no necesitaríamos otros datos? ¿no hay tramos en los que de noche prácticamente sólo circulan camiones?
Cuando no vivía en Madrid, los amigos y familiares que viajaban a la capital nos traían de regalo un décimo de lotería, porque “en Madrid toca más”. El mismo fenómeno se da cuando se compra la lotería en Sort, fiados en una mayor probabilidad de obtener premio, ya que en esa localidad se dan muchos. A pocas personas se les ocurre comparar los premios con los números vendidos en esas ciudades.
El error básico que cometemos en estos razonamientos es el de usar cantidades absolutas, y no proporciones relativas o porcentajes. Para comparar la incidencia de un fenómeno cualquiera deberíamos plantearnos una tabla de doble entrada, rellenarla con las cantidades absolutas y después proceder a convertirlas en porcentajes.
Veamos esta, que podemos imaginar perteneciente a una empresa
| Hombres | Mujeres | |
| Fuman | 34 | 13 |
| No fuman | 46 | 14 |
| Proporción | 42,5% | 48,2% |
Si entráramos en la sala de fumar veríamos muchos más hombres que mujeres, y sin embargo sólo fuma el 42,5% de hombres frente a un 48,2% de mujeres.
Ya sabes, ten cuidado: si preguntas en tu parque a la gente que pasea si es diabética o no, no deduzcas de los resultados que a los diabéticos no les gusta tomar el sol.
miércoles, 4 de marzo de 2009
Cuadrado del simétrico o simétrico del cuadrado
Claudi Alsina, en su libro “Vitaminas matemáticas”, señala como una propiedad del número 12 la siguiente: 122 = 144 y 212 = 441, es decir, que el cuadrado de su número simétrico en cifras coincide con el simétrico de su cuadrado.
Esta propiedad la poseen otras parejas de números, en concreto hay, si la hoja de cálculo no falla, las siguientes:
Dos parejas de dos cifras: 12 y 21, 13 y 31
Cinco parejas de cuatro cifras, desde 102 con 201 hasta 311 y 113
Dieciocho de cinco cifras, desde 1002-2001 hasta 3111-1113
Cuarenta y una parejas de cinco cifras…
Una cuestión sencilla: ¿Qué cifras no pueden figurar entre las componentes de esos números? ¿Cuál es la causa?
Otra algo más compleja: De las cifras que pueden figurar, ¿qué combinaciones de ellas habría que desechar?
Y más difícil, porque hay que contar bastante: ¿Por qué aparecen estos números de parejas?: 2 de dos cifras, 5 de tres cifras, 18 de cuatro y 41 de cinco…
Si deseas emprender una búsqueda ordenada con hoja de cálculo, puedes usar las funciones invertir_cifras y escapicua que se explicaron en entradas anteriores.
viernes, 27 de febrero de 2009
Código de búsqueda
Quienes seguís este blog habréis advertido que se propone en él el uso de las hojas de cálculo
para investigar y divertirse.
Hoy proponemos una macro para buscar ejemplos similares al propuesto por Eugenio Manuel en su blog Ciencia del Siglo XXI - Mirando con la mente.
882+332=8833
¿Existirán otros números de cuatro cifras con esta propiedad?
Si deseas averiguarlo, implementa este código, que te sirve para Excel y para OpenOffice.org Calc
(En rojo los comentarios)
Sub busqueda
dim i,j,k,l (Cifras del número)
dim a,b,c (a y b están formados por dos cifras)
for i=0 to 9
for j=0 to 9
for k=0 to 9
for l=0 to 9
a=10*i+j (Formamos un número con las dos primeras cifras)
b=10*k+l (Formamos otro con las dos últimas)
c=100*a+b (Formamos el número total)
if a^2+b^2=c then (Si se cumple, tenemos la solución)
msgbox(a) (Se comunican las soluciones)
msgbox(b)
msgbox(c)
end if
next l
next k
next j
next i
End Sub
La respuesta es que existe otro número de cuatro cifras con la misma propiedad ¿Cuál?.
lunes, 23 de febrero de 2009
Fórmula de Polignac
Es relativamente sencillo encontrar los divisores primos del factorial de un número natural n. Simplemente son todos los primos inferiores o iguales a n. El problema reside en calcular los exponentes a los que están elevados. Por ejemplo, la descomposición factorial de 22! es
Para obtener los exponentes Polignac propuso esta fórmula
En la que el exponente r de cada factor primo p viene dado por la suma de los cocientes enteros del número n entre las sucesivas potencias de p.
Puedes usar esta fórmula para resolver las cuestiones siguientes:
¿Cuál es el mayor divisor del factorial 12! que es cuadrado perfecto? (Solución 2073600, cuadrado de 1440) ¿En cuántos ceros termina el cociente 100!/50!? (Solución en 12 ceros) ¿Cuál es la máxima potencia de 56 que divide a 56!? (Solución 56 elevado a 9)
Si te da pereza ir contando, puedes usar la hoja de cálculo contenida en la dirección
http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm
Para obtener los exponentes Polignac propuso esta fórmula
En la que el exponente r de cada factor primo p viene dado por la suma de los cocientes enteros del número n entre las sucesivas potencias de p.
Puedes usar esta fórmula para resolver las cuestiones siguientes:
¿Cuál es el mayor divisor del factorial 12! que es cuadrado perfecto? (Solución 2073600, cuadrado de 1440) ¿En cuántos ceros termina el cociente 100!/50!? (Solución en 12 ceros) ¿Cuál es la máxima potencia de 56 que divide a 56!? (Solución 56 elevado a 9)
Si te da pereza ir contando, puedes usar la hoja de cálculo contenida en la dirección
http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm
sábado, 14 de febrero de 2009
Las cercanías del cuadrado de un primo
Alrededor del cuadrado de un número primo mayor que 3 no hay muchos más primos. El cuadrado parece que los aleja. En efecto, no son primos p2 – 1, p2 – 3, p2 – 4, p2 – 5, p2 + 1, p2 + 2 y p2 + 3
¿Podrías demostrarlo?
La clave de todo está en p2 – 1, que es múltiplo de… (piensa y demuestra)
Además, hay cuadrados de primos que están muy aislados, como el 529 = 232, al que sólo rodean los primos 521, 523, 541 y 547, entre 520 y 550, o el 1681=412 cuyos primos más cercanos son 1669 y 1893. ¿Sabrías encontrar casos similares?
¿Podrías demostrarlo?
La clave de todo está en p2 – 1, que es múltiplo de… (piensa y demuestra)
Además, hay cuadrados de primos que están muy aislados, como el 529 = 232, al que sólo rodean los primos 521, 523, 541 y 547, entre 520 y 550, o el 1681=412 cuyos primos más cercanos son 1669 y 1893. ¿Sabrías encontrar casos similares?
domingo, 1 de febrero de 2009
Autogenerados por sus cifras (2)
Cuatro cifras
En la anterior entrada estudiábamos los números de cuatro cifras autogenerados por las mismas en el sentido fuerte, es decir, conservando su orden, y encontramos cinco de ellos:
2187 = (2+18)7; 1285 = (1+28)*5 ; 3972 = 3+(9*7)2 ; 3125 = (3*1+2)5=(31+2)5 ; 6455 = (64-5)*5
Si tomamos nota de todos los números generados por cada uno sin alterar el orden de las cifras, encontramos entre ellos dos cadenas muy interesantes:
6455 genera a 3125 mediante (( 6+ 4)- 5)5= 3125 y este genera a 2187, porque 3(( 1* 2)+ 5)= 2187
A su vez 1285 genera a 1281 mediante ( 1+(( 28)* 5))= 1281 y este a su vez genera 2187 con la expresión (2+1)(8-1)
Tres cifras
Investigando los de tres cifras, y aunque no parecía muy probable su existencia, hemos descubierto dos casos: 736 = 7+36 y 343 = (3+4)3
Cinco cifras
Da la impresión de que son más abundantes. Alrededor del 15625 se encuentran varios:
15642=1+56+42; 15655= =(1*5)*(6+55); 15656=1+5*6+56 y 15662=1+56+62
Aquí el rodear a una potencia adecuada entre cifras 55 ó 56 ha propiciado que aparezcan varios.
(Continuará si aparecen otros hechos interesantes)
En la anterior entrada estudiábamos los números de cuatro cifras autogenerados por las mismas en el sentido fuerte, es decir, conservando su orden, y encontramos cinco de ellos:
2187 = (2+18)7; 1285 = (1+28)*5 ; 3972 = 3+(9*7)2 ; 3125 = (3*1+2)5=(31+2)5 ; 6455 = (64-5)*5
Si tomamos nota de todos los números generados por cada uno sin alterar el orden de las cifras, encontramos entre ellos dos cadenas muy interesantes:
6455 genera a 3125 mediante (( 6+ 4)- 5)5= 3125 y este genera a 2187, porque 3(( 1* 2)+ 5)= 2187
A su vez 1285 genera a 1281 mediante ( 1+(( 28)* 5))= 1281 y este a su vez genera 2187 con la expresión (2+1)(8-1)
Tres cifras
Investigando los de tres cifras, y aunque no parecía muy probable su existencia, hemos descubierto dos casos: 736 = 7+36 y 343 = (3+4)3
Cinco cifras
Da la impresión de que son más abundantes. Alrededor del 15625 se encuentran varios:
15642=1+56+42; 15655= =(1*5)*(6+55); 15656=1+5*6+56 y 15662=1+56+62
Aquí el rodear a una potencia adecuada entre cifras 55 ó 56 ha propiciado que aparezcan varios.
(Continuará si aparecen otros hechos interesantes)
sábado, 24 de enero de 2009
Autogenerados por sus cifras (1)
En su blog Ciencia del siglo XXI. Mirando con la mente, Eugenio Manuel ha publicado hace unos días la siguiente curiosidad numérica
2187 = (2+18)7
Al leerla me pregunté si existirían más números de cuatro cifras que pudieran ser generados por esas mismas cifras y en el mismo orden. A esta forma de generar, la llamaré fuerte, pues existen otros números que pueden ser generados alterando el orden, como 6145=45*6+1. De estos diré que han sido producidos por una generación de tipo débil.
Con un algoritmo de búsqueda he encontrado otros ejemplos de autogeneración fuerte:
1285 = (1+28)*5 ; 3972 = 3+(9*7)2 ; 3125 = (3*1+2)5=(31+2)5 ; 6455 = (64-5)*5
El hecho de no haber usado la operación de dividir y además la imposición de algunas restricciones para evitar desbordamientos de memoria me impiden asegurar que estos cinco números sean los únicos de autogeneración fuerte con cuatro cifras.
Si encontráis alguno más, os ruego me aviséis.
¿Habrá alguno con tres cifras? ¿Y con cinco o seis?
Por la web he visto estos dos ejemplos impresionantes de generación débil con diez cifras
¿Existirán generaciones mutuas, en las que las cifras de A generen B y las de B generen A?
Si averiguo algo más os lo contaré.
2187 = (2+18)7
Al leerla me pregunté si existirían más números de cuatro cifras que pudieran ser generados por esas mismas cifras y en el mismo orden. A esta forma de generar, la llamaré fuerte, pues existen otros números que pueden ser generados alterando el orden, como 6145=45*6+1. De estos diré que han sido producidos por una generación de tipo débil.
Con un algoritmo de búsqueda he encontrado otros ejemplos de autogeneración fuerte:
1285 = (1+28)*5 ; 3972 = 3+(9*7)2 ; 3125 = (3*1+2)5=(31+2)5 ; 6455 = (64-5)*5
El hecho de no haber usado la operación de dividir y además la imposición de algunas restricciones para evitar desbordamientos de memoria me impiden asegurar que estos cinco números sean los únicos de autogeneración fuerte con cuatro cifras.
Si encontráis alguno más, os ruego me aviséis.
¿Habrá alguno con tres cifras? ¿Y con cinco o seis?
Por la web he visto estos dos ejemplos impresionantes de generación débil con diez cifras
¿Existirán generaciones mutuas, en las que las cifras de A generen B y las de B generen A?
Si averiguo algo más os lo contaré.
sábado, 17 de enero de 2009
Sistema de numeración binaria
Idea para el aula
El sistema de numeración en base 2 puede tener un aprendizaje totalmente distinto que el del resto de sistemas en otras bases. Su esencia es la de intentar formar un número a partir de los sumandos 1, 2, 4, 8, 16,… tomados sin repetir. Por ello, si se presenta al alumnado un catálogo de estos números, representados como conjuntos o “montones”, basta ir eligiéndolos uno a uno para formar el número deseado.
Así, para formar el número 81, se van sumando los números 64, 32, 16, etc. añadiendo o quitando cada uno de ellos hasta llegar a la solución 81 = 64 + 16 + 1. La parte más difícil es interpretar después que esta suma da lugar a la representación binaria 1010001. Para ayudar en ese paso hemos creado una hoja de cálculo que visualiza tanto la agregación de los “montones” como la representación binaria a la que dan lugar.
No se dan aquí indicaciones de cómo usar esta hoja, pues su simplicidad permite varios itinerarios distintos en el aprendizaje y la elección de la metodología más adecuada a juicio de cada docente.
La hoja de cálculo de OpenOffice.org Calc está alojada en la siguiente dirección:
Al abrirla se nos consulta sobre la activación de macros. Se puede aceptar con confianza, porque sólo contiene un pequeño código para el funcionamiento de un botón.
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