Después de dos entradas publicadas sobre ternas pitagóricas, es útil completarlas con las hipotenusas más simples, que son los primos pitagóricos, es decir, los del tipo 4K+1. Estos primos se caracterizan por poder ser expresados mediante una suma de dos cuadrados de forma única. Este tema ha aparecido tanto en mis publicaciones que lo doy por sabido.
Por ejemplo, 13=4*3+1=22+32
Relacionando
estos números con el estudio reciente sobre el número de ternas pitagóricas de
las que un número es hipotenusa, podemos afirmar que estos primos sólo pueden
ser hipotenusa de una sola terna. Así, el ejemplo del 13 se traduce en la terna
única 132=122+52.
Los
primeros primos pitagóricos están publicados en https://oeis.org/A002144, y
son sencillos de identificar. La terna que producen es siempre primitiva, pues
su carácter de primos impide su simplificación.
Según
lo aprendido en las anteriores entradas, sus potencias serán hipotenusas de
tantas ternas como indique su exponente. Por ejemplo, 13^5=371293 lo es de las
cinco siguientes:
371293=31072+3712802=1399322+3439152=1428052+3427322=1456682+3415252=2614432+2636402
Propiedades
Una
propiedad interesante de estos primos es que poseen un resto cuadrático igual a
-1. Su justificación requiere teoría de nivel algo superior al que se mantiene
en este blog, pero podemos efectuar comprobaciones. Por ejemplo, el primo
29=7*4+1 presenta el resto 28, que equivale a -1. En la siguiente captura de
pantalla se observa su presencia:
El
cuadrado de estos primos será promedio de otros cuadrados. Con lo aprendido en
las dos últimas entradas es fácil comprobarlo:
Tomamos
N=2(4K+1)2, que según Gauss se podrá descomponer en suma de
cuadrados dos veces. Una de ellas es trivial, pues sería (4K+1)2+(4K+1)2,
pero la otra convertirá a N2 en promedio de dos cuadrados.
(Ver
https://hojaynumeros.blogspot.com/2024/03/potencias-equidistantes-de-cuadrados.html)
Por
ejemplo, 73 es primo del tipo 4K+1, luego su cuadrado deberá ser promedio de
dos cuadrados. Descomponemos 2*732 en cuadrados:
2*732=72+1032=732+732
De
ahí se deduce la propiedad:
732=(72+1032)/2
Estos
valores se pueden lograr también con la función ENTREDOS contenida en el enlace
de más arriba.
También
estos primos, sin elevar al cuadrado, son promedios de dos cuadrados. Basta
recordar que si p es del tipo 4K+1, 2p sólo se descompone en una suma de
cuadrados, como ocurre con el número 41:
41*2=82=12+92,
luego 41=(12+92)/2
412*2=3362=312+492,
luego 412=(312+492)/2
Tanto los primos pitagóricos como sus cuadrados son
promedios de otros cuadrados.
Pasamos
a la posibilidad de estos números de actuar como catetos.
Los primos pitagóricos como catetos de una terna
Este
tema ya está resuelto anteriormente, pues si p es primo impar, su
cuadrado se puede descomponer en dos factores de la misma paridad impar, aparte
del trivial p*p, como serían p2 y 1. Por tanto, se cumple:
p2=((p2+1)/2)2-((p2-1)/2)2
Por
ejemplo:
732=26652-26642
Es
fácil ver que el primo pitagórico es la raíz cuadrada de la suma de los
catetos, que siempre es un cuadrado perfecto.
También,
todo número del tipo (p2+1)/2 es posible hipotenusa que sea una
unidad mayor que un cateto, aunque p no sea primo.
