Números poligonales en general (2)

Seguimos en esta entrada el estudio de los números poligonales en general, que también nos ocupará una tercera. 

Uso de la calculadora “Calcupol”

Esta calculadora es una hoja de cálculo (En Excel o Calc) que puedes descargar desde mi página web:

http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/hoja/calcupol.xlsm

 

Esta herramienta está diseñada para varios tipos de números figurados, como los piramidales, oblongos o centrados. Para usar la calculadora para números poligonales hay que comenzar eligiendo el tipo Poligonal y después el Orden. No es necesario para algunos cálculos, pero sí es conveniente tenerlo fijado. Por ejemplo, para estudiar los octógonos elegiríamos Poligonal de orden 8.

Las operaciones fundamentales que puedes efectuar con esta calculadora son:

Cálculo directo: Basta señalar los botones  (recuerda que todo va con el ratón, no con el teclado)  N POL K = , siendo N el orden y K el índice. Por ejemplo, para encontrar el decágono de lado 7 señalaríamos 1 0 POL 7 =  con el resultado de 175, que es correcto, como puedes comprobar en http://oeis.org/A001107

El resultado se te ofrece en la pantalla superior de la calculadora:

 No olvides el signo =. Los resultados se borran con el botón CA.

Identificación: Dado un número cualquiera, puedes usar la tecla  ES  para saber si ese número es  poligonal de algún tipo. Concreta como Orden 9 e intenta averiguar si el número 2291 es un eneágono. Escribirías CA  2 2 9 1 ES

Como hemos elegido el número al azar, lo más probable es que no sea eneágono. Efectivamente, nos responde:

Si hubiéramos escrito el 2301, cercano al anterior, la respuesta hubiera sido positiva:

Además, en la pantalla superior aparecería su índice:

Así que hemos comprobado que 2301 es eneagonal de índice 26. Consulta http://oeis.org/A001106

Próximo y anterior

¿Cómo hemos llegado al número 2301? Como teníamos en pantalla el número a probar 2291, bastó usar el botón PROX para que nos devolviera el siguiente eneágono al de prueba:

Con las teclas   PROX  y  ANT  podemos recorrer todos los números poligonales de un índice dado. Si tienes en pantalla 1 y usas PROX de forma reiterada, recorrerás la sucesión de poligonales que desees.

El resto de prestaciones lo tienes explicado en las Instrucciones que acompañan a la calculadora en su misma hoja. No le pidas la misma versatilidad que a las comerciales. Algunos cálculos combinados no serán correctos.

 

Recurrencias

El estudio por capas que emprendimos en la entrada anterior nos llevó a

El número poligonal P(n,k) equivale a la suma de k términos de diferencia n-2, desde 1 hasta 1+(k-1)(n-2)

Por tanto, el siguiente término de la progresión será 1+k(n-2). Esto nos lleva a una relación recurrente:

P(n,k+1)=P(n,k)+k(n-2)+1

Por ejemplo, los primeros números hexagonales son 1 , 6 , 15 , 28 , 45 , 66 , 91,…Por tanto 91 es el hexagonal de índice 7. A partir de él podemos encontrar el número 8 con esta relación de recurrencia:

H(8)=H(7)+7*(6-2)+1=91+28+1=120, que , en efecto es el siguiente hexagonal.

Esta recurrencia la usaremos como tabla y como función.

Como tabla, basta crear los primeros términos mentalmente y después seguir aplicando la recurrencia. Probamos con octogonales, en los que los primeros serán 1 y 8. Después, al octogonal de índice k habrá que sumarle, según hemos visto, k(8-2)+1=6k+1 (es como la fórmula de una nueva capa), y quedará esta tabla:

En efecto, la segunda columna contiene los primeros octogonales, creados a partir de 1 y 8 junto con sus índices, mediante OCT(k+1)=OCT(k)+6k+1

Lo puedes comprobar en http://oeis.org/A000567

Como función, podemos acudir a la recursividad que admite Excel y otras hojas de cálculo, que permiten que una función se llame a sí misma, dentro de unos límites. Si lo intentas con números grandes te puede fallar. Este código usa la recursividad:

Public Function polig_rec(n, k)

 

If k = 1 Then

polig_rec = 1 ‘El primer poligonal es 1

ElseIf k = 2 Then

polig_rec = n ‘El segundo es n

Else

polig_rec = polig_rec(n, k - 1) + (n - 2) * (k - 1) + 1 ‘Recursividad

End If

End Function

 

Lo hemos probado con los hexagonales, que se generan con la fórmula n(2n-1), y hemos comprobado la coincidencia entre ambas técnicas:

Recurrencia en función de n

Si fijamos el valor de k, es posible deducir el valor de P(n,k) en función de P(n-1,k). Es una recurrencia que se basa en las descomposiciones en triangulares vistas más arriba, y consiste en sumarle un triangular de lado k-1:

P(n+1,k)=P(n,k)+T(k-1)=P(n,k)+k(k-1)/2

Lo demostramos:

P(n,k)+T(k)=k(k*(n-2)-(n-4))/2+k(k-1)/2=(nk²-2k²-nk+4k+k²-k)/2=

((n+1-2)k2-(n+1-4)k)/2=P(n+1,k)

Por ejemplo, Pol(8,5)=65, Pol(7,5)=55 y T(4)=10 y se cumple 65=55+10

Con esta recurrencia podemos generar todos los poligonales que comparten índice. Por ejemplo, los de índice 4 se formarán sumando 4*3/2=6 al anterior:

En la imagen puedes comprobar que esos poligonales con k=4 presentan diferencias de 6.

Una recurrencia de tercer orden

Es posible construir una recurrencia entre poligonales sin implicar el índice. En http://oeis.org/wiki/Polygonal_numbers hemos encontrado la siguiente:

P(n,k)=3P(n,k-1)-3P(n,k-2)+P(n,k-3)

No es difícil justificarlo. Escribimos las fórmulas generales como polinomios en k y al desarrollar se comprueba la igualdad:

Desarrollamos el segundo miembro:

3((k-1)²*(n-2)-(k-1)(n-4))/2-3((k-2)²*(n-2)-(k-2)(n-4))/2+((k-3)²*(n-2)-(k-3)k(n-4))/2

Como los cuadrados dependientes de k² y los de k son los mismos en los tres sumandos, bastará comprobar la equivalencia pare ellos solos:

Con cuadrados: 3(k-1)²-3(k-2)²+(k-3)²=3k²-6k+3-3k²+12k-12+k²-6k+9=k²

3(k-1)-3(k-2)+k-3=3k-3-3k+6+k-3=k

Luego en la recurrencia se construyen tanto k² como k y, por tanto, es válida.

Para estudiar la recurrencia incorporaremos el 0 como primer término de los poligonales. El segundo sería 1 y el siguiente, como ya hemos visto, n. Los coeficientes de la recurrencia son, según hemos visto, 3, -3 y 1.

Acudimos a nuestra hoja de cálculo para recurrencias lineales:

http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#recurre2

Probamos la recurrencia para poligonales de 13 lados. Las condiciones iniciales serán 0, 1, 13 y los coeficientes los ya conocidos 3, -3 y 1:

Pulsamos el botón de “Ver sucesión” y obtendremos:

Estos son los primeros poligonales de índice 13. Lo puedes comprobar en http://oeis.org/A051865

Hemos conseguido generar estos poligonales mediante recurrencia lineal sobre los tres primeros (incluido el 0 por comodidad)

 

Una propiedad transversal

2*P(n,k)=P(n-h,k)+P(n+h,k)

Esta igualdad expresa que cada número poligonal es el promedio entre otros dos de su mismo índice y con los órdenes simétricos respecto al suyo.

Por ejemplo, el hexagonal de índice 6 es 66, y el cuadrado y el octogonal de ese índice son, respectivamente, 36 y 96, con lo que se cumple que 66=(36+96)/2

Su demostración es muy sencilla, pues partiendo de la fórmula general aplicada a P(n-h,k) y P(n+h,k) basta sacar factor común un 2:

k(k(n-h-2)-(n-h-4))/2+k(k(n+h-2)-(n+h-4))/2=k(k(2(h-2)-2(n-4))/2=2*P(n,k)

Esto permite, si disponemos de los primeros poligonales, como son los triangulares y cuadrados, generar los siguientes. Si en la identidad anterior hacemos h=1 y despejamos P(n+h,k) tendremos:

P(n+1,k)=2*P(n,k)-P(n-1,k)

Se puede ordenar en forma de tabla de Excel:

En ella, las dos primeras filas se han escrito manualmente, y por eso están destacadas en rojo. Las siguientes se han formado restando el doble del elemento de la fila anterior con el de dos filas más arriba. Puedes comprobar que el resultado es correcto. Por ejemplo, el octogonal tercero, 21, se ha formado mediante 2*18-15=36-15=21.

Otra propiedad

Stuart M. Ellerstein, en http://oeis.org/A057145, afirma que P(2n+4.n)=n³.

No parece complicado demostrarlo. Sustituimos n por 3n+4 y k por n en la fórmula general:

P(2n+4,n)=n(n*(2n+4-2)-(2n+4-4))/2=n(2n²+2n-2n)/2=n³

Por ejemplo, un decágono (n=2*3+4) de índice 3 equivale a 3³=27

En efecto, escribimos en la calculadora calcupol 1 0 POL 3 = y nos resulta 27.