Coeficientes trinomiales

Los coeficientes trinomiales son una extensión de los binomiales, definidos estos como

Y que son los coeficientes del binomio de Newton:

De forma análoga se pueden definir los coeficientes trinomiales, propios de un trinomio similar al anterior.

En realidad, los binomiales se podrían expresar de otra forma:

A partir de aquí podemos explicar mejor la definición de coeficientes trinomiales:

También, al igual que con los binomiales, los podemos identificar con los coeficientes de la potencia de un trinomio:

Las demostraciones son similares a las del caso binomial.

Esta fórmula produce siempre resultados enteros positivos, debido al teorema de que un producto de k números consecutivos decrecientes es siempre múltiplo de los k primeros números enteros positivos. Es fácil recordar que coincide con el número de permutaciones con repetición en las que se fija el número de cada una.

Para entender esto mejor podemos descomponer la definición en tres bloques. Lo vemos con un ejemplo:

A la vista de este esquema de tres cocientes, observamos que el tercer número de la definición no influye en el resultado, luego podemos usar sólo n₁ y n₂. Incluso estos son intercambiables, los que nos lleva a que el coeficiente trinomial se puede expresar como

En nuestro ejemplo, usando la función COMBINAT de Excel y Calc, nos quedaría:

COMBINAT(8;2)*COMBINAT(6;3)=560

COMBINAT(8;3)*COMBINAT(5;2)=560

 

Cálculo de un coeficiente trinomial en la práctica

Si no se desea depender de la función COMBINAT, se puede calcular directamente. El problema con el cálculo práctico de un coeficiente de este tipo es que los factoriales alcanzan números muy grandes. Si usamos calculadora o bien hoja de cálculo, los resultados pasan a coma flotante y se pierde el carácter entero de estos coeficientes. Por ello, es conveniente usar el desarrollo del párrafo anterior: dividir los números consecutivos a partir de m entre el primer factorial, los siguientes entre el segundo, y parar el cálculo, porque el tercer factorial produce un uno. En VBasic y otros lenguajes se puede construir una función similar a la siguiente:

Function trinomial(m, x, y, z)

Dim t, k, v

If x + y + z <> m Then trinomial = 0: Exit Function’ Datos no válidos

t = m: k = x: v = 1

While k > 0

v = v * t / k: t = t - 1: k = k – 1 ‘Divide factores consecutivos entre el primer coeficiente. Es el primer combinatorio de la fórmula.

Wend

k = y

While k > 0

v = v * t / k: t = t - 1: k = k – 1’ Igual, en el segundo coeficiente para calcular el segundo combinatorio.

Wend

trinomial = v

End Function

Presenta un pequeño riesgo de redondeo inadecuado, pero suele funcionar bastante bien. Devuelve un cero si los coeficientes de abajo no suman el de arriba. No analiza si los datos son enteros.

Es muy sencillo el traslado a cualquier otro lenguaje de programación, por ejemplo, en PARI, con un rango de datos y resultados mucho mayor:

trinomial(m, x, y, z)=my(t=m,k=x,v=1);while(k>0,v=v*t/k;t-=1;k-=1);k=y;while(k>0,v=v*t/k;t-=1;k-=1);v*(x+y+z==m)

Tal como se esperaba, los valores de estos coeficientes pueden ser grandes. Aquí tenemos un ejemplo:

Al ser la primitiva definición simétrica respecto a los índices de abajo, el número total de posibles coeficientes trinomiales para un índice superior m dado, es el de particiones de m en tres conjuntos. Por ejemplo, para m=5 las particiones son (5,0,0), (4,1,0), (3,2,0), (3,1,1), (2,2,1), que se corresponden con los posibles valores de los coeficientes, que son 1, 5, 10, 20 y 30. Se comprende que, en el desarrollo de (a+b+c)⁵, se tendrán que repetir, como vemos en el siguiente desarrollo:

Con nuestra herramienta Cartesius se puede encontrar el número de estos coeficientes distintos.(Ver https://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius)

Por ejemplo, para m=7 plantearíamos:

xtotal=3

xt=0..7

creciente

suma=7

 

Se interpreta que deseamos encontrar todos los tipos de sumas con resultado 7 y sin tener en cuenta el orden (creciente)

Al resultado se le han añadido manualmente los valores de los coeficientes:

Estos resultados se corresponden con el desarrollo de una potencia séptima de un trinomio:

Como era de esperar, los coeficientes aparecen muy repetidos.

Tetraedro de Pascal

Con la expresión COMBINAT(m;n₁)*COMBINAT(m-n₁;n₂) se puede construir un triángulo de coeficientes para un m dado. En una hoja de cálculo se puede visualizar bien. En la imagen figuran los correspondientes a m=7, vistos anteriormente:

Observamos que los lados del triángulo son filas del triángulo de Pascal. Si ahora apilamos triángulos según los valores de m, nos resultará un tetraedro, al que también se le llama de Pascal. En la siguiente página de Wikipedia se explica el proceso:

https://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_pyramid

La siguiente imagen pertenece a dicha página:

(Fuente: Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_pyramid)

Para quienes deseéis profundizar en el tema. La lectura de esta página es recomendable.

Recurrencia

Es fácil la comprobación de esta recurrencia para calcular coeficientes trinomiales:

En realidad, este es el fundamento del tetraedro de Pascal.