Media contraarmónica entera

 

 Al cociente (a²+b²)/(a+b) se le suele llamar media contraarmónica de a y b (Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Contraharmonic_mean). Si a y b son enteros (estudiaremos solo  los positivos) podemos preguntarnos si esta media es también entera.

En la página direccionada más arriba podrás descubrir que esa media y la media armónica son equidistantes de la media aritmética, siendo la armónica la de menor valor. Lo expresamos:

Si resta cada una de la anterior observarás que esa diferencia equivale a

La tercera es la media armónica, que es el inverso de la media aritmética de los inversos de a y b. Puedes estudiarla en 

https://es.wikipedia.org/wiki/Media_arm%C3%B3nica

Lo repasamos con un ejemplo, a=30, b=20. Los valores de estas medias serían:

Contraarmónica: (30²+20²)/(30+20)=26 (hemos elegido el ejemplo con valor entero)

Aritmética: (30+20)/2=25

Armónica: 2*20*30/(20+30)=24

Hemos comprobado que los tres valores son equidistantes.

También cumplen unas proporciones interesantes. Si llamamos mc a la contraarmónica y mh a la armónica se cumple:

En el ejemplo, 30/20=3/2; (30-24)/(24-20)=(26-20)/(30-26)=6/4=3/2

Puedes repasar estas proporciones en el documento 

https://oeis.org/A210494/a210494.pdf

 

Media contraarmónica entera para un a dado y b máximo

Ya podemos entrar en el estudio que nos hemos propuesto, y es investigar para qué pares la media contraarmónica es entera. Como para cada valor de a pueden existir varias soluciones para b, nos vamos a dedicar tan solo a los valores de b que sean máximos, pero menores que a.

En principio, encontrar esos pares de valores no parece complicado. La siguiente función nos lo facilita. La idea es recorrer, para cada n, el mayor valor de k que cumpla esa condición. Buscamos el mayor porque puede abrir rutas hacia otras cuestiones, y porque suelen aparecer varias soluciones. Hemos cambiado la notación de a y b a n y k, para destacar que lo trataremos todo como una propiedad de n.

Public Function divsumapote(n)

Dim k, a

a = 0

For k = 1 To n - 1

If (n ^ 2 + k ^ 2) Mod (n + k) = 0 Then a = k

Next k

divsumapote = a

End Function

 

El interés de este algoritmo está en la quinta línea. En primer lugar nos preguntamos If (n ^ 2 + k ^ 2) Mod (n + k) = 0, o dicho de otra forma, si se cumple la media contraarmónica de n y k es entera. En ese caso le damos a la variable a el valor de k correspondiente, pero como el bucle de cálculo continúa, ese valor de a llegará lo más alto posible, devolviéndonos así el máximo valor de k. Si ese valor es 0, el número n elegido no cumple esa condición.

Con esta función hemos encontrado los primeros valores de n y k que tienen su media contraarmónica entera:

Los valores de n ya están publicados, aunque con una orientación diferente, en http://oeis.org/A005279

6, 12, 15, 18, 20, 24, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 54, 56, 60, 63, 66, 70, 72, 75, 77, 78, 80, 84, 88, 90, 91, 96, 99, 100, 102, 104, 105, 108, 110, 112, 114, 117, 120, 126, 130, 132,…

Por ejemplo, 42 y 30 figuran en nuestra tabla porque

Mc(42,30)=(42²+30²)/(42+30)=37

Si esta media es entera, la armónica también lo será. Se puede demostrar con este desarrollo:

Si el primer miembro es entero, el último término también lo será, y resulta que se trata de la media armónica. En el ejemplo:

Si 37 es entero, la media armónica será 42+30-37=35, también entero.

Así que si la media contra armónica es entera, también lo será la armónica (y a la inversa), con lo que la aritmética será entera o un  racional con denominador 2.

Por ejemplo, con 45 y 36, las medias son: mc=(45²+36²)/(45+36)=41, mh=2*45*36/(45+36)=40 y ma=(45+36)/2=40,5=81/2

 Si 2ab/(a+b) es entero h, será 1/h=(a+b)/2ab=1/2b+1/2a

Esta expresión relaciona tres fracciones egipcias unitarias.

En nuestra entrada https://hojaynumeros.blogspot.com/2019/02/suma-y-diferencia-de-fracciones.html dedicamos muchas líneas para demostrar que el denominador de una fracción egipcia unitaria que es diferencia de otras dos del mismo tipo debía tener dos divisores d y e tales que d<e<2d. Por tanto, eso le debe ocurrir a 2a, ya que

Esto explica que en la sucesión que hemos descubierto para a se defina así en OEIS: “Numbers having divisors d,e with d < e < 2*d”

Por ejemplo, 42 posee los divisores 6 y 7 que cumplen 6<7<6*2.

Esto también explica el hecho de haber encontrado números primos entre los valores de a ni ninguna de sus potencias.

 

Pertenencia de los números hexagonales

Estos números se obtienen con la fórmula H(n)=n(2n-1). Esto nos garantiza que cumplen la condición del párrafo anterior. En efecto, si repasamos los dos listados, el de números hexagonales (http://oeis.org/A000384) y el de los números que hemos obtenido (http://oeis.org/A005279) se tendrá:

Hexagonales( sin el cero y el 1): 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496,

Nuestros: 6, 12, 15, 18, 20, 24, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 54, 56, 60, 63, 66, 70, 72, 75, 77, 78, 80, 84, 88, 90, 91, 96, 99, 100, 102, 104, 105, 108, 110, 112, 114, 117, 120, 126, 130, 132, 135, 138, 140, 143, 144, 150, 153,

Hemos destacado en negrita los hexagonales dentro de la otra sucesión.

Lo podemos ver de forma algebraica: H=n(2n-1) forma un par con K=(n-1)(2n-1) y queda:

Efectivamente, es un entero. Por ejemplo:

45=5*(2*5-1) es hexagonal y K=(5-1)(2*5-1)=36

La media mc sería (45²+36²)/(45+36)=41, que coincide, como hemos visto, con 5²+(5-1)²