Muchas entradas de este blog se inician en los cálculos
sobre fechas que publico en Twitter. El día 28/4/18 presentaba la propiedad de
que
28418=23²+167²=43²+163²
es decir, que 28418 equivale a una suma de
cuadrados de números primos de dos formas distintas. Si en esta igualdad de
sumas transponemos cuadrados, se convierte en la igualdad de diferencias.
Así,
167²-163²=43²-23², y 167²-43²=163²-23².
Estudiaremos en esta entrada qué números equivalen a la suma
de cuadrados de números primos y separadamente, los que equivalen a
diferencias, en ambos casos de dos o más formas distintas. Terminaremos el
estudio con algunas relaciones entre ambos.
Así que las equivalencias entre sumas y las diferencias,
como es evidente, están relacionadas. Esto excluye al número primo 2, por lo
que en lo que sigue sólo intervendrán primos impares. Comenzamos con la suma de
cuadrados.
Números equivalentes a dos sumas de cuadrados de primos
338, 410, 578, 650, 890, 1010, 1130, 1490, 1730, 1802, 1898,
1970, 2330, 2378, 2738, 3050, 3170, 3530, 3650, 3842, 3890, 4010, 4658, 4850,
5018, 5090, 5162, 5402, 5450, 5570, 5618, 5690, 5858, 6170, 6410, 6530, 6698,
7010, 7178, 7202, 7250, 7850, 7970, …
Como en este blog se usa la hoja de cálculo, se puede
intentar reproducirlos con una función apropiada en el Basic de Excel o
LibreOffice Calc. Puede ser la siguiente, en la que n es el número a analizar y k
el número de sumas de cuadrados de primos que sean equivalentes. El resultado
es el listado, en forma de cadena de texto, de los primos de cada par o la
palabra “NO” si no existen
soluciones.
public function sumaprimcuad$(n,k)
dim
b, c,i,m
dim ca$
ca="" ‘Cadena vacía que
recibirá las soluciones
m=0 ‘Contador de soluciones
b=sqr(n/2) ‘Tope para ensayar primos
for i=1 to b ‘La variable i recorre
los valores de los primos
if esprimo(i) then
c=int(sqr(n-i^2+1e-5)) ‘Se
investigará si el segundo sumando es primo
if esprimo(c) and i^2+c^2=n then m=m+1:
ca$=ca$+" "+ajusta(i)+" "+ajusta(c)+" & "
end if ‘Si hay solución se
incrementa m y se copia en ca$
next i
if m=k then sumaprimcuad=ca else
sumaprimcuad="NO"
end function
Aplicando esta función a un bucle de búsqueda se obtienen las
primeras soluciones para el caso k=2, que es el que nos interesa en este
estudio. Cada solución viene acompañada de sus dos pares de primos:
338 7
17 & 13 13 &
410 7
19 & 11 17 &
578 7
23 & 17 17 &
650
11 23 & 17 19 &
890 7
29 & 19 23 &
1010 7
31 & 13 29 &
1130 13
31 & 17 29 &
1490 11
37 & 23 31 &
1730 7
41 & 19 37 &
1802 11
41 & 29 31 &
1898 7
43 & 23 37 &
1970 11
43 & 17 41 &
2330 11
47 & 31 37 &
2378 13
47 & 23 43 &
2738 23
47 & 37 37 &
Coinciden con los primeros publicados en OEIS. Llama la
atención ver que alguna de las soluciones contiene primos repetidos, como la
última, en la que se repite el 37.
La ventaja de disponer de una función es que la podemos aplicar
a números grandes sin tener que recorrer los previos.
Factores primos de las soluciones
En ella se exigía que si figuran primos del tipo 4k+3, estos
estuvieran elevados al cuadrado. En el listado de más abajo observamos que esto
ocurre en 338, que contiene 13 al cuadrado, y en 578, con el cuadrado de 17:
338 7
17 & 13 13 & [2,1][13,2]
410 7
19 & 11 17 & [2,1][5,1][41,1]
578 7
23 & 17 17 & [2,1][17,2]
650
11 23 & 17 19 & [2,1][5,2][13,1]
890 7
29 & 19 23 & [2,1][5,1][89,1]
1010 7
31 & 13 29 & [2,1][5,1][101,1]
1130 13
31 & 17 29 & [2,1][5,1][113,1]
1490 11
37 & 23 31 & [2,1][5,1][149,1]
1730 7
41 & 19 37 & [2,1][5,1][173,1]
1802 11
41 & 29 31 & [2,1][17,1][53,1]
1898 7
43 & 23 37 & [2,1][13,1][73,1]
1970 11
43 & 17 41 & [2,1][5,1][197,1]
2330 11
47 & 31 37 & [2,1][5,1][233,1]
2378 13
47 & 23 43 & [2,1][29,1][41,1]
2738 23
47 & 37 37 & [2,1][37,2]
3050 29
47 & 37 41 & [2,1][5,2][61,1]
3170 19
53 & 31 47 & [2,1][5,1][317,1]
3530 7
59 & 41 43 & [2,1][5,1][353,1]
3650 13
59 & 29 53 & [2,1][5,2][73,1]
3842 11
61 & 19 59 & [2,1][17,1][113,1]
3890 13
61 & 41 47 & [2,1][5,1][389,1]
4010 17
61 & 23 59 & [2,1][5,1][401,1]
4658 13
67 & 43 53 & [2,1][17,1][137,1]
Se observa que aparte del factor 2, presente por ser números
pares, el resto, suele tener otros dos factores, ya sean repetidos, como en
2738=2*37², o bien distintos, como en el caso de 2378=2*29*41. Hay otros, y eso
los hace interesantes, que poseen tres factores más, como 3050=2*5²*61. En
estos casos aparecerán nuevas sumas de cuadrados, pero ya no tienen que tener
base prima.
En efecto, 3050=29²+47²=37²+41²=5²+55²
La última suma es claramente de bases no primas, que no
intervienen en la cuestión que estamos estudiando.
Podemos pasar esta función a PARI, y obtener así un listado
más compacto de las soluciones:
for(n=2,10000,m=0;b=sqrt(n/2);for(i=2,b,if(isprime(i),c=truncate(sqrt(n-i^2+1e-5));if(isprime(c)&&(i^2+c^2==n),m+=1)));if(m==2,print1(n,",
")))
Con este código se pueden obtener los números desde el 2
hasta el 10000 contenidos en http://oeis.org/A226539
Números con tres descomposiciones
Si en la función dada hacemos k=3 obtendremos los números
que admiten su descomposición en tres sumas de cuadrados de números primos.
Puedes intentarlo con la herramienta referida. Los primeros casos son:
2210 19
43 & 23 41 & 29 37 &
3770 7
61 & 17 59 & 31 53 &
5330 17 71 &
29 67 & 43 59 &
6290 7
79 & 31 73 & 53 59 &
Están publicados en http://oeis.org/A226562
2210, 3770, 5330, 6290, 12818, 16490, 18122, 19370, 24050,
24650, 26690, 32810, 33410, 34970, 36530, 39650, 39770, 44642, 45050, 45890,
49010, 50690, 51578, 57770, 59450, 61610, 63050, 66170, 67490, 72410, 73610,
74210, 80330, 85202, 86210, 86330, 88010,...
Podríamos seguir con los que admiten cuatro descomposiciones
o más, pero lo dejamos como ejercicio, que no es difícil disponiendo de la
función que hemos presentado.
En la siguiente entrada estudiaremos la misma cuestión, pero
con diferencias.
No hay comentarios:
Publicar un comentario