En la anterior entrada se estudiaron aquellos números primos que dan lugar a sumas de cuadrados equivalentes. En la presente se verá la misma cuestión con diferencias.
Diferencias de cuadrados
En el caso de buscar números que sean equivalentes a dos
diferencias de cuadrados de números primos es más sencillo usar la diferencia k
entre dos de esos primos. Incluimos un desarrollo algebraico que le da ese protagonismo
a esa diferencia k.
Partimos de una suma por diferencia como equivalente a la
diferencia de cuadrados. Si m=(a+b)(a-b). sustituyendo a por x+k y b por x,
llamando k a la diferencia a-b, queda:
m=(x+k+x)(x+k-x)=(2x+k)k.
El valor mínimo de k es 2, ya que sería el caso de primos
gemelos, luego k>=2 siempre será par, puesto que hemos excluido el número
primo 2.
Por otra parte, 2x+k es un divisor propio de m, y también
par, luego será menor o igual que m/2, y, a su vez, m será múltiplo de 4. Sólo
los múltiplos de 4 pueden presentar la propiedad requerida.
2x+k=m/k<=m/2, luego x ha de ser menor o igual que m/4 y
x+k<=m/4+k
Así queda el valor de x en función de k: x=(m/k-k)/2
Luego podemos construir el bucle de búsqueda con k entre los
divisores pares de m, a fin de que sea entero m/(2*k).
Para cada valor de k, par, vemos si es divisor de m y
entonces buscamos entre los impares, de x=3 hasta x=m/4 los que sean primos y
también lo sea x+k
Estas consideraciones nos llevan a la siguiente función, en
la que dados un número natural n y un número k de diferencias de cuadrados de
primos, nos indica si ese número equivale a esas diferencias o no:
public function difeprimcuad$(n,k)
dim b, c,i,m,d
dim ca$
if n/4<>n\4 then
difeprimcuad="NO":Exit function ‘Ha de ser múltiplo de 4
ca="" ‘Recogerá las
soluciones en modo texto
m=0 ‘Contador de soluciones
b=int(sqr(n))+1 ‘Valor mínimo para
el primer primo
d=int(n/4+2) ‘Valor máximo según los
párrafos anteriores
for i=b to d
if esprimo(i) then ‘El minuendo de
la diferencia ha de ser primo
c=int(sqr(i^2-n+1e-5)) ‘Posible
sustraendo
if esprimo(c) and i^2=n+c^2 then m=m+1:
ca$=ca$+" "+ajusta(i)+" "+ajusta(c)+" & "
‘Hay una solución más. Se recoge en ca$ y se incrementa el contador m
end if
next i
if m=k then difeprimcuad=ca else
difeprimcuad="NO" ‘Si hay k soluciones, se recogen.
end function
Con esta función y un bucle de búsqueda obtenemos
las primeras soluciones, acompañadas de las diferencias de cuadrados de primos
que admiten:
72
11 7 & 19 17 &
360
23 13 & 47 43 &
432
31 23 & 109 107 &
528
37 29 & 47 41 &
768
67 61 & 193 191 &
888
43 31 & 113 109 &
960
53 43 & 241 239 &
1032 89
83 & 131 127 &
1080 37
17 & 271 269 &
1128 53
41 & 283 281 &
1272 59
47 & 109 103 &
1392 41
17 & 349 347 &
1488 43
19 & 97 89 &
1512 41
13 & 61 47 &
1608 73
61 & 137 131 &
1632 41
7 & 59 43 &
1728 43
11 & 433 431 &
1920 47
17 & 163 157 &
Están publicadas en http://oeis.org/A090788
72, 360, 432, 528, 768, 888, 960, 1032, 1080, 1128, 1272,
1392, 1488, 1512, 1608, 1632, 1728, 1920, 2088, 2112, 2232, 2352, 2400, 2448,
2568, 2688, 2808, 3048, 3168, 3240, 3288, 3480, 3648, 3768, 4008, 4032, 4128,
4248, 4272, 4392, 4488, 4512, 4992.
Con este código PARI, inspirado en la función anterior, se
reproduce el resultado.
i=4; while(i<=5000, k=0; m=2; while(m*m<=i, if(i%(2*m)==0,
a=(i/m-m)/2; b=a+m; if(isprime(a)&&isprime(b), k+=1)); m+=2); if(k==2,
print1(i, ", ")); i+=4)
Por mera curiosidad, se incluyen a continuación los números
que cumplen ser diferencia de cuadrados de primos de tres formas distintas.
Basta sustituir k=2 en la función por k=3:
120
13 7 & 17 13 & 31 29 &
168
17 11 & 23 19 & 43 41 &
312
19 7 & 29 23 & 41 37 &
408
23 11 & 37 31 & 103 101 &
480
23 7 & 29 19 & 43 37 &
552
29 17 & 71 67 & 139 137 &
600
31 19 & 53 47 & 151 149 &
672
29 13 & 31 17 & 59 53 &
720
29 11 & 41 31 & 181 179 &
1008 37
19 & 43 29 & 67 59 &
1200 37
13 & 79 71 & 103 97 &
1800 43
7 & 59 41 & 227 223 &
2160 47
7 & 113 103 & 139 131 &
2472
109 97 & 311 307 & 619 617 &
2832 71
47 & 181 173 & 239 233 &
2880 61
29 & 89 71 & 149 139 &
3312 59
13 & 101 83 & 829 827 &
3672 61
7 & 71 37 & 461 457 &
4560 79
41 & 107 83 & 233 223 &
5040 73
17 & 83 43 & 149 131 &
5640
109 79 & 151 131 & 241 229 &
6120 79
11 & 103 67 & 107 73 &
6480
101 61 & 409 401 & 1621 1619 &
6528 83
19 & 113 79 & 547 541 &
7248
163 139 & 457 449 & 607 601 &
7320
137 107 & 193 173 & 613 607 &
7752 89
13 & 131 97 & 971 967 &
7872 89
7 & 139 107 & 659 653 &
8160
109 61 & 137 103 & 683 677 &
8352
101 43 & 241 223 & 2089 2087 &
8400
103 47 & 109 59 & 307 293 &
Puedes seguir con la cuestión para cuatro, cinco o seis
diferencias. Basta cambiar la última condición k=2 en Basic o k==2 en PARI. En
las siguientes sucesiones de OEIS tienes los listados:
Hay más, pero con estos ejemplos basta. Puedes indagar los
casos de siete, ocho o más.
Correspondencias entre los que son suma y sus correspondientes diferencias:
Una cuestión curiosa es la extraer casos de la primera parte
de esta entrada, sumas de cuadrados de primos, con los de la segunda, de
diferencias de primos. Lo vemos con un ejemplo concreto:
410=19²+7²=17²+11²
Al ser distintos los sumandos, transponiendo términos, surgen
dos grupos de diferencias iguales: 19²-17²=11²-7²=72
19²-11²=17²-7²=240
Así que del número 410, equivalente a dos sumas de primos
distintos, obtenemos otros dos números, 72 y 240, que pertenecen a los casos de
diferencias de cuadrados de primos. Ocurre también el hecho contrario, que de
72 o 240, transponiendo términos, podemos obtener un caso de suma de cuadrados
de primos. La correspondencia es múltiple y no siempre recíproca, por lo que
sólo podemos constatar qué números de un grupo se relacionan con el otro.
No se incluyen los listados que se han usado para establecer
correspondencias entre un conjunto y otro. En este listado se pueden apreciar los
casos de diferencias de cuadrados de primos que se extraen de los de sumas
múltiples de cuadrados
Correspondencias
entre los que son suma y sus correspondientes diferencias:
338 120 120
410 240 72
578 240 240
650 240 168
890 480 312
1010 792 120
1130 672 120
1490 840 408
1730 1320 312
1802 840 720
1898 1320 480
Por ejemplo, 1730=41²+7²=37²+19², y transponiendo
términos:
41²-19²=37²-7²=1320
Y también
41²-37²=19²-7²=312
Podemos seguir las rutas opuestas, desde los que son diferencia
de cuadrados a las correspondientes sumas.
Por ejemplo, 72=11²-7²=19²-17² y
transponiendo:
11²+17²=7²+19²=410, que pertenece a nuestro
primer listado.
Aunque las correspondencias no son biunívocas, con
paciencia se pueden construir cadenas. Lo dejamos ahí.
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