lunes, 4 de julio de 2011

Divisores unitarios I – Definición y propiedades

Terminamos el curso 2010-2011 con tres entradas consecutivas en las que daremos vueltas y revueltas al concepto de divisor unitario. Después descansaremos unas semanas.

Un número natural d es un divisor unitario de otro número natural N cuando d y N/d son coprimos. Por ejemplo, 33 es divisor unitario de 66, ya que 33 es coprimo con 66/33=2. Es evidente que N/d también es unitario. Los divisores unitarios aparecen por parejas.

Para encontrar todos los divisores unitarios de un número N te puede ayudar el saber que el número de esos divisores es 2K, siendo K=omega(N) (la función omega es el número de factores primos diferentes que posee N). ¿Qué te recuerda lo de una potencia de 2 en recuentos? Pues eso que estás pensando. Así que te puedes poner a trabajar. Te damos un ejemplo:

Los divisores unitarios de 84 son 1, 3, 4, 7, 12, 21, 28 y 84, en total 8=23.

Encuentra tú otros conjuntos de este tipo de divisores: en los números primos sólo encontrarás dos, en los semiprimos 4, en los 3-primos, ocho, y así (salvo repeticiones).

La suma de todos los divisores unitarios de un número N es una clase especial de la familia de las funciones sigma. Se la suele distinguir con un asterisco: σ* y también recibe el nombre de usigma.
Si has dado con el procedimiento para encontrar los divisores unitarios, entenderás esta fórmula:



Donde pi son los factores primos y ki sus multiplicidades.

Te dejamos razonarlo.

Así, σ*(84)=(1+3)(1+4)(1+7)=4*5*8=160=1+3+4+7+12+21+28+84

También es fácil encontrarlos con hoja de cálculo: basta recorrer los números de 1 a N y quedarnos con aquellos D que son divisores de N y que su MCD(D,N/D)=1

Aquí tienes un ejemplo: los divisores unitarios de 2772 y su suma 4800=5*10*8*12 (¿por qué esos factores?)
1
4
7
9
11
28
36
44
63
77
99
252
308
396
693
2772

4800


Destacamos algunas curiosidades dando vueltas al concepto:

 (1) El número de divisores unitarios de N coincide con el de sus divisores libres de cuadrados ¿Por qué ocurre eso? Un ejemplo: para N=60 los divisores unitarios son 1, 3, 4, 5, 12, 15, 20 y 25, ocho en total, comprobándose que 8 = 2omega(60) = 23. Los números libres de cuadrados son 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30, también ocho. ¿Por qué?
   
(2) Con los divisores unitarios se pueden definir también números perfectos (unitarios). Son aquellos en los que usigma(N)=2*N. Los primeros son:

6, 60, 90, 87360  (http://oeis.org/A002827)

(3) Las potencias de un número primo pk sólo tienen dos divisores unitarios: 1 y pk, sea cual sea el exponente k.

Continuará...