Divisores unitarios 2 – Promedios

Un número natural d es un divisor unitario de otro número natural N cuando d y N/d son coprimos (ver entrada anterior).

Podemos trabajar con otros aspectos de los divisores unitarios:

(1) Si N es impar

El promedio de sus divisores unitarios será un entero.

El promedio provendrá de dividir la función usigma(N) entre 2^omega(N) (ver anterior entrada). Si analizas cómo será usigma(N) si N es impar, lo lograrás demostrar sin gran esfuerzo.

Por ejemplo, si N = 855 sus divisores unitarios serán 1, 5, 9, 19, 45, 95, 171, 855. Su suma es 1200, que al dividirla entre 8, que es el número de divisores, nos da un promedio entero de 150.

En algunos casos es incluso primo, un caso parecido a lo que ocurría en los números Arolmar.

Estos son los números con promedio primo de sus divisores unitarios: 3, 5, 9, 13, 25, 37, 61, 73, 81, 121, 157, 193, 277, 313, 361, 397, 421, 457, 541, 613, 625, 661, 673, 733, 757, 841, 877, 997…

Entre ellos hay números primos y potencias pares de primos. La razón es la siguiente: sabemos que la expresión de usigma es:

Si ahora dividimos entre 2^h, podemos asignar un 2 a cada factor, quedando:

Todos los cocientes serán mayores que 1, porque los numeradores serán iguales o mayores que 4 (¿por qué?). Pero así no puede resultarnos un número primo, ya que lo que obtenemos es una descomposición en varios factores, luego h ha de ser 1, es decir, que N ha de ser primo o potencia de primo.

Podemos concretar más aún: la potencia del primo ha de ser par, porque en caso contrario el primer factor sería múltiplo de p₁+1 (pura álgebra). Todavía podemos afinar más:

Si k₁=1 obtendrás los términos 3, 5, 13, 37, 61, 73, 157, 193 (http://oeis.org/A005383)

Si k₁>=1 ha de ser par y los términos que aparecen son los restantes:

Potencia de primo	Promedio primo de divisores unitarios	Descomposición factorial
9	5	3 3
25	13	5 5
81	41	3 3 3 3
121	61	11 11
361	181	19 19
625	313	5 5 5 5
841	421	29 29
2401	1201	7 7 7 7

(2) Si N es par

 En este caso el promedio de los divisores unitarios puede ser entero o no. Si lo es, puede incluso ser primo. Por ejemplo, en el caso de

6, 12, 48, 768, 196608, …

¿Porqué hay tan pocos pares que produzcan un promedio de divisores unitarios que sea primo?

Lo razonamos:

Todo número par de h factores es de la forma

En ella los p_i son números primos impares y k_i sus multiplicidades.

Por tanto

El número de divisores unitarios sería 2^h. Por tanto, para que la media sea un número entero, la expresión (1) ha de ser divisible entre 2^h. Pero si además deseamos que sea primo, la media ha de ser exactamente el primer factor (1+2^a), que es el único que es impar y no va a desaparecer en el cociente entre 2^h. Por tanto, el resto de factores ha de desaparecer.

Un factor del tipo (1+p^k) con p primo para simplificarse en el cociente ha de ser una potencia de 2, y el valor mínimo que consigue esto es (1+3¹) = 4. Por tanto, cada paréntesis de (1) ha de ser una potencia de 2 de al menos exponente 2. Resumiendo,

Usigma(N) = (1+2a)*4*4*4…*4 = (1+2^a)*2^2(h-1)    (2)

Para hallar el promedio de divisores unitarios dividimos entre 2^h y nos resulta:

M = Usigma(N)/ 2^h = (1+2^a)*2^h-2

Y llegamos a un resultado interesante: Para que M sea primo, h debe valer 2 y por tanto M=(1+2^a). Y más todavía: para que en (2) sea válida la igualdad p₁ ha de valer 3 y k₁ la unidad.

Sólo los números pares de la forma 2^a*3 podrán tener una media M prima. Además, dicha media será un número primo de Fermat.

Si recordamos que los números de Fermat son del tipo

Y que no todos son primos, obtendremos la solución anticipada:

6=2*3, 12=2²*3, 48=2⁴*3, 768=2⁸*3, 196608=2¹⁶*3,…

Extensión: La secuencia total la hemos publicado en https://oeis.org/A192577