miércoles, 22 de junio de 2011

¡Cómo crece la abundancia!

Ya sabemos que un número perfecto es igual a la suma de sus divisores propios, que en un abundante esa suma es mayor que el número, y que en los deficientes es menor. Si llamamos S(N) a la suma de todos los divisores de de N (función sigma), es claro que el cociente S(N)/N vale 2 en los números perfectos, más de 2 en los abundantes y menos en los deficientes. Hasta aquí ninguna novedad.

Si llamamos abundancia del número A a ese cociente S(A)/A, podemos demostrar una interesante propiedad:

La abundancia de un número múltiplo de A es mayor que la abundancia de A: 
Si M=A*k, (M, A y K enteros positivos), entonces S(M)/M > S(A)/A

Para demostrarlo basta considerar el caso en el que k es primo, porque por reiteración la propiedad se iría repitiendo en cada factor primo de k si fuera compuesto. Recordemos la fórmula de la función sigma S:



En la que pi son los factores primos de A y ei sus multiplicidades.

Si el nuevo primo k es uno de ellos con multiplicidad p, su cociente (kp+1-1)/(k-1) se convertiría en (kp+2-1)/(k-1), que es mayor que (kp+1-k)/(k-1)=k(kp+1-1)/(k-1).

Por tanto, ese factor (kp+1-1)/(k-1) de la función sigma quedaría multiplicado por un número mayor que k.

Por tanto, la abundancia aumenta, porque S(M)/M > kS(A)/M=kS(A)/(kA)=S(A)/A.

Si k es un número primo que no divide a A, entonces su función sigma, al pasar a M, quedaría multiplicada por (k+1) (¿por qué?) y tendríamos: S(M)/M=S(A)*(k+1)/(A*k)=  S(A)/A*((k+1)/k)>S(A)/A, es decir, la abundancia quedaría multiplicada por un número mayor que la unidad.

Si k fuera compuesto, iríamos multiplicando por cada uno de sus factores primos, con lo que la abundancia crecería aún con más razón.

Lo importante es que estos crecimientos son estrictos: nunca se da la igualdad de abundancias entre un número y sus múltiplos. De esto se desprende lo siguiente, que es muy fácil de razonar:

* Los divisores de un número perfecto son todos deficientes.
* Si un número es no deficiente (perfecto o abundante), sus múltiplos serán todos abundantes.

Nos podemos imaginar que si N es no deficiente, entre los divisores de N encontraremos deficientes (quizás no todos) y entre los múltiplos, todos abundantes. ¿Dónde está la frontera?

Dickson (1913) llamó no deficientes primitivos a aquellos números no deficientes cuyos divisores propios sí son todos deficientes. Es evidente que entre esos números estarán los perfectos y quizás alguno más.

Pues sí, hay más: 6, 20, 28, 70, 88, 104, 272, 304, 368, 464, 496, 550, 572, 650, 748, 836, 945, 1184…
Lo puedes consultar en la secuencia http://oeis.org/A006039.

Quizás te apetezca encontrarlos con una hoja de cálculo o un instrumento más potente. Bastará con que tengas implementada la función sigma y definir con ella las funciones es_perfecto, es_deficiente, es_abundante. Después recorres todos los números de un rango, eliges los no deficientes, recorres sus divisores y aceptas los números en  los que no aparezcan perfectos o abundantes entre sus divisores propios. ¿Difícil? Dependerá de tu experiencia previa.

Aquí tienes una idea en Basic:


for i=m to n
if not esdeficiente(i) then
k=2
c=0
while k<=i/2 and c=0
if i/k=i\k and not esdeficiente(k) then c=1
k=k+1
wend
if c=0 then msgbox(i)
end if
end if
next i