sábado, 19 de marzo de 2011

Collares bicolores - Introducción

Supongamos que en un hilo cerrado ensartamos n cuentas para formar un collar, r de ellas de color negro y s de color blanco, con r+s=n. Lo dejamos sobre una mesa y permitimos todos los giros posibles, lo que evidentemente deja invariante la estructura de las posiciones mutuas de las blancas y las negras. Por razones de simplicidad (aunque de hecho se hace y está estudiado) prohibiremos cualquier movimiento del collar fuera de la mesa (en el espacio tridimensional)



¿Cómo se estudiarían matemáticamente estas estructuras en forma de collar?

La primera idea es la de que se trata de permutaciones circulares, pero el problema es algo más complicado. Lo abordamos.

Consideremos todas las permutaciones posibles de r negras y s blancas. Sabemos que su número es  Cn,r=  Cn,s = n!/(r!.s!)  Así, si usamos 3 negras y 3 blancas obtendríamos C6,3= 6!/(3!*3!)= 20 permutaciones. Si representamos las blancas con una O y las negras con X, resultarían las siguientes (se puede ignorar por ahora la última columna):


O
O
O
X
X
X

C1
O
O
X
O
X
X

C2
O
O
X
X
O
X

C3
O
O
X
X
X
O

C1
O
X
O
O
X
X

C3
O
X
O
X
O
X

C4
O
X
O
X
X
O

C2
O
X
X
O
O
X

C2
O
X
X
O
X
O

C3
O
X
X
X
O
O

C1
X
O
O
O
X
X

C1
X
O
O
X
O
X

C2
X
O
O
X
X
O

C3
X
O
X
O
O
X

C3
X
O
X
O
X
O

C4
X
O
X
X
O
O

C2
X
X
O
O
O
X

C1
X
X
O
O
X
O

C2
X
X
O
X
O
O

C3
X
X
X
O
O
O

C1


Intenta imaginar cada permutación como circular y agrupa aquellas que representen el mismo collar cuando se les deja girar libremente. Puedes imaginarlas situadas sobre la esfera de un reloj con la primera cuenta en “las doce” y avanzando en el sentido de las agujas. Así lo haremos a partir de ahora.

Es un ejercicio muy bueno para dominar el tema. En la última columna de la tabla se han destacado con los símbolos C1, C2,… los distintos collares que se pueden considerar.

Han resultado tres tipos de collares C1, C2 y C3 representados cada uno por 6 permutaciones y luego otro tipo, el C4, representado por dos. Los dibujamos:



Si analizas un poco este conjunto adivinarás por qué el cuarto tipo contiene sólo 2 permutaciones y los otros 6. Por ahora lo dejamos aquí y en la siguiente entrada lo interpretaremos en términos de órbitas en un conjunto sobre el que actúa un grupo.

Mientras tanto, intenta estudiar el mismo tipo de collar pero con sólo dos cuentas negras y cuatro blancas.


¿Cuántas permutaciones forman cada uno de los tres tipos de collar? ¿Por qué sólo existen tres tipos?