La suma divide la concatenación
1+2 divide a 12 - 12/3=4
4+5 divide a 45 - 45/9=5
16+17 divide a 1617 - 1617/33=49
49+50 divide a 4950 - 4950/99=50
¿Cuáles son los siguientes números consecutivos tal que la suma de ellos divide a la concatenación de los mismos?
Aunque desde este blog le enviamos un comentario con posibles soluciones, parecía interesante aprovechar esta cuestión para recorrer un razonamiento mixto (hoja de cálculo y Álgebra) en esa búsqueda. Usamos el proceso Exploración – Conjetura – Demostración de la conjetura – Complementos, que siempre hemos recomendado en los procesos de investigación en el aula de Matemáticas.
Exploración
Al tratar de números consecutivos y dos operaciones sencillas, era atractivo organizar una búsqueda con una hoja de cálculo. Bastaba crear una tabla similar a la siguiente:
Número Consecutivo Concatenación Suma Cociente
…
164 165 164165 329 498,98
165 166 165166 331 498,99
166 167 166167 333 499
167 168 167168 335 499,01
168 169 168169 337 499,02
…
y esperar a que aparecieran números enteros en el cociente.
La concatenación se programó con fórmulas del tipo 10N*a+a+1, siendo N el número de cifras de a. De esta forma fueron apareciendo las soluciones 1, 4, 16, 49, 166, 499, 1666, 4999, …
Conjetura
A la vista de los resultados, parecía que las soluciones eran de dos tipos:
A1=5*10n-1 y A2=(5*10n-2)/3
Y que los cocientes siempre estaban comprendidos entre 5*10n-2 y 5*10n+1
¿Sería siempre así?
Demostración
El cociente estudiado entre concatenación y suma se puede representar por la expresión
Donde N es el número de cifras de a. Este cociente siempre está cercano al número 5*10N-1. Precisemos más.
Luego los cocientes no llegarán a 6, 51, 501, 5001, 50001,…
Por otra parte
Esto hace que los cocientes enteros puedan ser también del tipo 48, 49, 498, 499, …
Así que tenemos tres posibilidades, aunque la primera no ha aparecido en la experimentación. Seguro que se puede lograr una acotación más fina.
K1=5*10N-1 K2=5*10N-1-1 K3=5*10N-1-2
Primer caso:
Nos lleva, al despejar la incógnita a a la expresión: a=5*10N-1-1 que nos da las soluciones 4, 49, 499, 4999, 49999,…
Segundo caso
Que siempre da un resultado entero, porque 5*10N-1 es congruente módulo 3 con 2 (¿por qué?) y nos devuelve las soluciones 1, 16, 166, 1666, 16666,…
Tercer caso
Dejamos como ejercicio ver que no puede dar solución entera.
Complementos
(1) La función K (cociente) es creciente ¿Sabrías demostrarlo? Habría que ver que lo es en los tramos de N constante y también en los saltos de N a N+1
(2) Además, tiene infinitos puntos de discontinuidad ¿dónde?
(3) Este tema se podría extender a otras bases de numeración, pero con hoja de cálculo quizás se tuvieran que organizar cifra a cifra. Ahí dejamos la idea.
1 comentario:
El ayudar a los demás; cuando en realidad es ayudar es una bendición.
Por que a mi entorno conviene que este bien, considero que es lo mas apropiado, de echo si el patio del los vecino y el mío están limpio, el mío será el que tarde mas en ensuciarse.
Entonces si yo ayudo a que mi comunidad este en armonía por añadidura también lo estaré yo.
Mi pregunta es: ¿Por que cobrar algo de lo que ya estoy obteniendo un beneficio? Entonces no lo hago por los de mas, lo hago por mi.
Dios les bendiga. Atte Miguel Amescua map-21@hotmail.com
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