Función “dígitos”

Si escribimos la serie de números 1,2,3,….N-1,N, ¿cuántos dígitos hemos escrito en el sistema decimal de numeración?

Esta cuestión se puede expresar de forma inversa mediante un problema:

Para numerar las páginas de un libro hemos tenido que escribir 702 dígitos ¿Cuántas páginas tiene el libro?
Es interesante estudiar la relación entre un número natural N y los dígitos empleados en escribir desde 1 hasta N. ¿Cómo se te ocurre abordar esta cuestión? Damos tres pistas:

(a) Recuento simple

Deberemos contar un dígito por cada número escrito, otro por cada número a partir de 10, otro a partir de 100, etc. Esto nos daría, para el número de tres cifras del ejemplo, la expresión

N+N-9+N-99 = 702; 3N=810; N=270

luego el libro tiene 270 páginas.

(b) Truco de Hoja de Cálculo

A partir de la resolución anterior, ¿podríamos construir una función tal que dado un número N nos devolviera el número de dígitos empleados en la sucesión 1..N?

Aprovechamos un truco. En las hojas de cálculo una igualdad o desigualdad verdadera posee el valor 1 y la falsa 0. Podríamos entonces construir esta función:

D(N)=N+(N-9)*(N>9)+(N-99)*(N>99)+(N-999)*(N>999)+(N-9999)*(N>9999)
que nos devolvería el valor deseado para cada entero positivo menor que 100000.

Así se puede construir una tabla para esta función en Hoja de Cálculo

(c) Uso en el aula

Esta función definida en Z puede usarse en las clases de Matemáticas, como ejemplo de

* Función definida entre números enteros
* Definición por intervalos
* Ejemplo de linealidad a trozos

Este tipo de ejemplos ayuda a extender el concepto de función, que a veces se queda tan solo en funciones reales, continuas y de definición simple.

¿Te atreverías con la definición de la función inversa de esta? Es evidente que su dominio no contendría a todos los números naturales.

Una exploración matemática

En la entrada número 120 del siempre interesante blog de Claudio se hacía una propuesta que esencialmente consistía en buscar los números que son cuadrados perfectos y que su doble aumentado en una unidad también lo es, como 144=12² y 144*2+1=289 = 17².

En un primer comentario, Pablo Sussi proponía las soluciones 0², 2², 12², 70², 408² y 2378² con una la ley de formación para las bases a_n+1 = 6a_n – a_n-1. Una entrada posterior contenía un enlace a una página de sucesiones de números enteros muy popular.

Navegando un poco y siguiendo enlaces sucesivos al propuesto descubrí que las soluciones 0, 4, 144, 4900, 166464, … divididas entre 4 coincidían con los números enteros que son cuadrados y triangulares a la vez (se puede prescindir del 0): 1, 36, 1225, 41616,…

Recordé de pronto que estos números se encuentran mediante la ecuación de Pell 8x²+1=y², una de cuyas soluciones es x=1, y=3. De esta forma se me aclaró bastante la cuestión, y os cuento el proceso que seguí mediante una serie de propuestas encadenadas complementarias a las de Claudio.

(1) Demuestra que si 2n² + 1 = m², entonces n²/4 es también cuadrado y triangular.

(2) Demuestra que los números x que son cuadrados y triangulares a la vez coinciden con los valores de x² que son soluciones de la ecuación de Pell 8x²+1=y²

(3) Una de las soluciones de la ecuación citada es x₁=1, y₁=3. Según la teoría correspondiente a las ecuaciones de Pell, las demás soluciones de esta ecuación vienen dadas por la igualdad


Usa esta propiedad para encontrar las soluciones de x, que serán 1, 6, 35, 204,…., que elevadas al cuadrado coincidirán con los números cuadrados y triangulares a la vez 1, 36, 1225, 41616,…que, a su vez, multiplicados por 4, resultarán ser las soluciones de 2n² + 1 = m², 4, 144, 4900, 166464…

(4) Usa la igualdad del apartado anterior para demostrar esta fórmula doble de recurrencia:

y_n=8x_n-1+3y_n-1, x_n=3x_n-1+y_n-1

o, en forma matricial:


Su aplicación reiterada nos permitirá encontrar los valores (1,3), (6,17), (35,99)…
Convierte esas dos fórmulas de recurrencia en una sola para x_n, y te resultará
x_n=6x_n-1-x_n-2, que coincide con la propuesta por Pablo Sussi para sus dobles 0, 2, 12, 72,…

(5) ¿Por qué el cociente entre las x parece tender a 3+2Raíz(2)?

Esto ya me coge cansado, pero creo que nos podemos basar en que los cocientes entre y y x cumplen q_n = 6-1/q_n-1, que nos lleva, tomando límites para n tendiendo a infinito, a la ecuación x = 6-1/x, una de cuyas soluciones es 3+2RAÍZ(2), que es la que vale al ser creciente la sucesión. Así que la conjetura de Claudio es cierta, si es que no he “tropezado” en algún paso. Si observáis algún error no dudéis en advertirme.

La mitad, cuadrado, el tercio, cubo

Encuentra los primeros números naturales N que admiten estas dos descomposiciones:

N= 2n² = 3m³

siendo n y m también naturales (su mitad es cuadrado perfecto y su tercera parte cubo perfecto)

Es necesario recorrer los posibles factores primos de m y de n y sus exponentes.

Una solución es N=41472, pero existe otra menor.

Si has aprendido a hacerlo, prueba con

N= 2n² = 5m⁵

Una solución es un número “muy redondo”

Si tu interés no ha sufrido merma, aborda el que

N= 3n³ = 5m⁵

Quizás la primera solución tenga nueve cifras

Números automórficos

Los números de la primera columna de la siguiente tabla son automórficos.Si los estudias adivinarás pronto qué propiedad tienen para recibir este nombre.

¿Cómo podríamos encontrarlos con una hoja de cálculo? Para construir la tabla que se incluye se han usado macros, pero se puede prescindir de ellas. Puedes crear una tabla de números consecutivos y después aplicarles una condición.
Esta tabla es complementaria de la anterior. ¿Qué relación tiene con ella?