Números Bogotá

Estos números fueron llamados así por Tomás Uribe y Juan Pablo Fernández, por su similitud con los números colombianos o autonúmeros. Es un homenaje a Bernardo Recamán, matemático colombiano

(Ver mi entrada https://hojaynumeros.blogspot.com/2015/03/autonumeros-1.html)

Su definición es simple: se trata de números N que equivalen a uno de sus divisores multiplicado por el producto de sus cifras (su raíz digital). Un ejemplo es el número 520, que se puede expresar como 52*5*2, o bien 8991 = 333*(3*3*3).

Para encontrarlos podemos recorrer todos los divisores del número y verificar que el cociente entre ambos coincide con el producto de cifras de ese divisor.

Ya hemos usado la función PRODUCIFRAS, pero reproducimos aquí su versión en VBASIC:

Public Function producifras(n)

Dim h, i, s, m

if n<10 then producifras=n:exit function

h = n  ‘la variable h recoge el valor de n

s = 1 ,‘El producto comienza con un 1 en la variable s

While h > 0  ‘Mientras queden cifras…

i = Int(h / 10) ‘Se queda con todas las cifras menos la última

m = h - i * 10 ‘La variable m recoge la última cifra

h = i ‘La variable h tiene una cifra menos

s = s * m ‘La última cifra se incorpora al producto

Wend

producifras = s

End Function

(ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2018/09/permutacion-de-cifras-al-sumar-su.html)

Si contamos con esta función u otra similar, es fácil construir un criterio para saber si un número es Bogotá o no. Últimamente hemos optado por funciones en modo texto, porque en sus valores podemos incluir el número de soluciones y la expresión de cada una mediante el producto pedido (en este caso). En su listado se usan funciones que han aparecido en algún momento en mis publicaciones:

Function esbogota$(n)
Dim k, m, j, c
Dim noes As Boolean
Dim s$, t$

If n = 1 Then esbogota = "1*1": Exit Function’ Caso especial
k = 2 ‘Primer divisor
noes = True ‘Suponemos que no existe solución
s = "" ‘Contenedor de la solución
c = 0 ‘Contador de soluciones
While k <= n  And noes ‘Recorremos divisores incluido n
If n / k = n \ k Then ‘Es divisor
If n = k * producifras(k) Then ‘Es número Bogotá
t = ""
c = c + 1 ’Una solución más, y se construye a continuación
For j = numcifras(k) To 1 Step -1: t = t + "*" + ajusta(cifra(k, j)): Next j
s = s + " # " + Str$(k) + t
End If
End If
K=k+1 ‘Siguiente divisor
Wend
If s = "" Then s = "NO" Else s = ajusta(c) + " : " + s
esbogota = s
End Function

Para estar escrita en VBasic, no es lenta. Esta tabla es un ejemplo de su utilidad:

Aquí todos presentan una sola solución, pero entre las soluciones menores ya aparecen con dos o tres soluciones:

Estos son los primeros ejemplos con dos soluciones:

Están publicados en https://oeis.org/A336944

El listado de los primeros números de Bogotá de cualquier número de soluciones es:

1, 4, 9, 11, 16, 24, 25, 36, 39, 42, 49, 56, 64, 75, 81, 88, 93, 96, 111, 119, 138, 144, 164, 171, 192, 224, 242, 250, 255, 297, 312, 336, 339, 366,…

Están publicados en https://oeis.org/A336826

En esta página se proponen algunas cuestiones, y aquí plantearemos alguna otra.

Se advierte que los números “repidígitos” son todos de Bogotá, como es fácil razonar: 1111=1111*1*1*1*1. Entre ellos figuran algunos primos, que son los únicos posibles (ver https://oeis.org/A004022).

Ningún número múltiplo de 10 será de este tipo, porque la cifra 0 final anulará el producto de las cifras.

Se puede usar el hecho de que el producto de las cifras ha de ser 7-liso, ya que los números del 2 al 9 sólo poseen como factores primos 2, 3, 5 y 7. No hemos encontrado ventajas en usar este hecho

 (ver https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_liso)

 
Números de Bogotá consecutivos

Al usar cifras, la existencia de estos pares será algo casual. Como poseemos la función esbogota(), bastará exigir que tanto N como N+1 sean de este tipo. Con un buscador apropiado se pueden encontrar:

Puedes consultar https://oeis.org/A336864

También podemos buscar el par (N, N+2):

Estos números no están publicados en OEIS.

Ya puestos, podemos buscar pares (N,2N):

Invitamos a los lectores a buscar más casos, que estarán inéditos muchos de ellos.

Números de Bogotá especiales

En los primeros números de este tipo figuran cuadrados, como 36 o 49. ¿Cuáles serán los siguientes? Para encontrarlos usaremos nuestra función ESCUAD junto a ESBOGOTA:

Esta sucesión también está inédita.

De igual forma se pueden buscar:

Triangulares

Oblongos N(N+1)

Potencias de exponente mayor que 2

Otras variantes

Con lo explicado, es fácil encontrar variantes de estos ejemplos. Si se busca en OEIS “Bogotá numbers”, se encuentran definiciones parecidas y algunas relaciones con los números de Recamán.