Estos números fueron llamados así por Tomás Uribe y Juan Pablo Fernández, por su similitud con los números colombianos o autonúmeros. Es un homenaje a Bernardo Recamán, matemático colombiano
(Ver mi entrada https://hojaynumeros.blogspot.com/2015/03/autonumeros-1.html)
Su definición es simple: se trata de números N que equivalen
a uno de sus divisores multiplicado por el producto de sus cifras (su raíz
digital). Un ejemplo es el número 520, que se puede expresar como 52*5*2, o
bien 8991 = 333*(3*3*3).
Para encontrarlos podemos recorrer todos los divisores
del número y verificar que el cociente entre ambos coincide con el producto de
cifras de ese divisor.
Ya hemos usado la función PRODUCIFRAS, pero reproducimos
aquí su versión en VBASIC:
(ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2018/09/permutacion-de-cifras-al-sumar-su.html)
Si contamos con esta función u otra similar, es fácil
construir un criterio para saber si un número es Bogotá o no. Últimamente hemos
optado por funciones en modo texto, porque en sus valores podemos incluir el
número de soluciones y la expresión de cada una mediante el producto pedido (en
este caso). En su listado se usan funciones que han aparecido en algún momento
en mis publicaciones:
Function esbogota$(n)
Dim k, m, j, c
Dim noes As Boolean
Dim s$, t$
If n = 1 Then esbogota =
"1*1": Exit Function’ Caso especial
k = 2 ‘Primer
divisor
noes = True ‘Suponemos
que no existe solución
s = "" ‘Contenedor
de la solución
c = 0 ‘Contador
de soluciones
While k <= n And noes ‘Recorremos
divisores incluido n
If n / k = n \ k Then ‘Es
divisor
If n = k * producifras(k) Then ‘Es
número Bogotá
t = ""
c = c + 1 ’Una
solución más, y se construye a continuación
For j = numcifras(k) To 1 Step -1: t = t
+ "*" + ajusta(cifra(k, j)): Next j
s = s + " # " + Str$(k) + t
End If
End If
K=k+1 ‘Siguiente
divisor
Wend
If s = "" Then s =
"NO" Else s = ajusta(c) + " : " + s
esbogota = s
End Function
Para estar escrita en VBasic, no es lenta. Esta tabla es un ejemplo de su utilidad:
Estos son los primeros ejemplos con dos soluciones:
Están publicados en https://oeis.org/A336944
El listado de los primeros números de Bogotá de cualquier
número de soluciones es:
1, 4, 9, 11, 16, 24, 25, 36, 39, 42, 49, 56, 64, 75, 81,
88, 93, 96, 111, 119, 138, 144, 164, 171, 192, 224, 242, 250, 255, 297, 312,
336, 339, 366,…
Están publicados en https://oeis.org/A336826
En esta página se proponen algunas cuestiones, y aquí
plantearemos alguna otra.
Se advierte que los números “repidígitos” son todos de
Bogotá, como es fácil razonar: 1111=1111*1*1*1*1. Entre ellos figuran algunos
primos, que son los únicos posibles (ver https://oeis.org/A004022).
Ningún número múltiplo de 10 será de este tipo, porque la
cifra 0 final anulará el producto de las cifras.
Se puede usar el hecho de que el producto de las cifras ha de ser 7-liso, ya que los números del 2 al 9 sólo poseen como factores primos 2, 3, 5 y 7. No hemos encontrado ventajas en usar este hecho
(ver https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_liso)
Al usar cifras, la existencia de estos pares será algo
casual. Como poseemos la función esbogota(),
bastará exigir que tanto N como N+1 sean de este tipo. Con un buscador
apropiado se pueden encontrar:
Puedes consultar https://oeis.org/A336864
También podemos buscar el par (N, N+2):
Estos números no están publicados en OEIS.
Ya puestos, podemos buscar pares (N,2N):
Invitamos a los lectores a buscar más casos, que estarán inéditos muchos de ellos.
Números
de Bogotá especiales
En los primeros números de este tipo figuran cuadrados,
como 36 o 49. ¿Cuáles serán los siguientes? Para encontrarlos usaremos nuestra
función ESCUAD junto a ESBOGOTA:
Esta sucesión también está inédita.
De igual forma se pueden buscar:
Triangulares
Oblongos
N(N+1)
Potencias de exponente mayor que 2
Otras variantes
Con lo explicado, es fácil encontrar variantes de estos ejemplos. Si se busca en OEIS “Bogotá numbers”, se encuentran definiciones parecidas y algunas relaciones con los números de Recamán.
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