Números aritméticos (2) - Distribución y tipos

Esta es la segunda entrada dedicada a los números aritméticos. Puedes consultar al anterior, porque son consecutivas.

Distribución

Basta observar los listados de aritméticos para comprobar que es relativamente frecuente encontrar aritméticos consecutivos, o bien diferenciados en dos unidades o en tres, por lo que este estudio de pequeñas diferencias carecería de interés. De hecho, Paul Erdös y tres colaboradores hicieron notar que el conjunto de los aritméticos tiene densidad 1

 (ver https://math.dartmouth.edu/~carlp/PDF/31.pdf)

Nos dedicaremos, pues, al extremo opuesto, a aritméticos consecutivos que se diferencien en varias unidades.

Si exigimos que la diferencia sea mayor que 2, ya observamos la poca frecuencia de este tipo de diferencias, como podemos comprobar en esta tabla:

Sólo existen ocho pares con diferencias mayores que 3 entre los 200 primeros números. Podemos contar los que se presentan, por ejemplo, entre los 10000 primeros, y nos resultarían pares de este tipo sólo 190. Como curiosidad, elaboraremos una tabla de intervalos:

 Vemos que las frecuencias son estables con tendencia a disminuir.

Si nos vamos a diferencias mayores, las frecuencias disminuyen bastante. Con las mayores que 3 baja a menos de la mitad, sobre 55 por cada 10000 y con mayores que 4 no llega a 10. Después, las diferencias mayores son muy escasas. Por tanto, los aritméticos presentan diferencias muy pequeñas, casi todas con valores 1, 2, 3 o 4.

Dentro de las diferencias pequeñas, deberán ser más escasas las ternas, los conjuntos de tres aritméticos ordenados que presenten las mismas diferencias. Hemos encontrado estos casos:

Conjuntos de aritméticos consecutivos

En un primer intento, con conjuntos de tres, resultan muchas ternas

Hemos advertido que en la terna (20, 21, 22) los promedios de los divisores son también consecutivos, pues son 7, 8 y 9 respectivamente.

7=(1+2+4+5+10+20)/6,

8=(1+3+7+21)/4,

9=(1+2+11+22)/4

Buscamos más ejemplos y no se han encontrado ninguno más entre los números menores que 500000.

Por curiosidad, hemos buscado conjuntos de cuatro consecutivos y también son muy frecuentes, por lo que no estiramos el tema. Queda abierta una línea de búsqueda.

Tipos de aritméticos

 Números cuadrados

Si combinamos la función esaritmetico con la de escuad (muy usada en nuestras publicaciones y en el blog) encontraremos los números aritméticos cuadrados:

 

 Con PARI llegamos más lejos en pocos segundos:

 aritm(n)={sigma(n)%numdiv(n)==0}
is(n)={aritm(n)&&issquare(n)}
for(i=1,100000,if(is(i),print1(i,", ")))

1, 49, 169, 361, 961, 1369, 1849, 3721, 4489, 5329, 6241, 8281, 9409, 10609, 11881, 14641, 16129, 17689, 19321, 22801, 24649, 26569, 32761, 37249, 39601, 44521, 47089, 49729, 52441, 58081, 61009, 67081, 73441, 76729, 80089, 87616, 90601, 94249, 97969,…

Están publicados en https://oeis.org/A277793, con el añadido de que la media geométrica de los divisores es también entera. Esta última propiedad es típica de los cuadrados, porque en ellos la media geométrica es la raíz cuadrada del número.

El caso más sencillo es el de un primo al cuadrado. Podemos demostrar fácilmente que si el primo es de tipo 6n+1, su cuadrado es aritmético, y no lo será en el caso 6n+5. En efecto, en ambos casos TAU vale 3, ya que los divisores son 1, p y p², y SIGMA se comporta de forma diferente en cada tipo:

1) SIGMA(p)=p²+p+1=(6n+1)²+6n+1+1=36n²+12n+1+6n+1+1=36n²+18n+3, claramente múltiplo de 3, que es el valor de TAU.

2) SIGMA(p)=p²+p+1=(6n+5)²+6n+5+1=36n²+60n+25+6n+5+1=36n²+66n+31, no divisible entre 3.

En la siguiente tabla (salvo el caso de 14641, que es una cuarta potencia) observamos que todos los números primos involucrados son del tipo 6n+1 (el 2 que figura en los corchetes es su exponente):

 

En la tabla figuran también los productos de cuadrados de primos cuando son del tipo 6n+1, como 8281 y 17689.

Podemos construir más aritméticos cuadrados si multiplicamos factores primos del tipo 6n+1, como sería, por ejemplo, 2989441=7²*13²*19², que hemos comprobado su carácter con la función esaritmetico.

Aritméticos triangulares

Si usamos las funciones esaritmetico y estriangular simultáneamente, obtenemos los primeros números de este tipo:

 

No es de extrañar su relativa abundancia, ya que todo triangular se puede descomponer en dos factores primos entre sí (no es difícil razonarlo), lo que, por la propiedad multiplicativa, facilita su carácter aritmético. Ocurre algo similar con los números oblongos, que son los dobles de los triangulares.

Aritméticos libres de cuadrados

Este tipo nos interesa en esta serie, pues veremos que contienen a nuestros números arolmar. Bastará usar la función esaritmetico y combinarla con la igualdad PARTECUAD(N)=1. Con ellas obtenemos la sucesión

 

1, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 29, 30, 31, 33, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 46, 47, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 62, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 73, 77, 78, 79, 83, 85, 86, 87, 89, 91, 93, 94, 95, 97, 101, 102, 103, 105, 107,…

Hemos destacado en negrita los arolmar.

Es fácil obtenerlos con el Buscador de Naturales:

 

 Otros tipos de aritméticos

 Repasamos brevemente algunos otros tipos de aritméticos 

 Aritméticos oblongos

 La segunda columna representa la descomposición factorial y la tercera su orden como oblongo.

 

También este caso y el siguiente se pueden encontrar con el Buscador.

 Aritméticos cubos

 Son más escasos que los anteriores:

 

Abundan entre ellos los cubos de primos p³, en los que SIGMA(p³)=1+p+p²+p³, y TAU(p³)=4

Todos los cubos de primos impares son aritméticos. Lo comprobamos con los dos tipos de primos, 4k+1 y 4k-1:

SIGMA((4K+1)³)=(4k+1)³+(4k+1)²+4k+1+1=64k³+48k²+12k+1+16k²+8k+1+4k+1+1=64k³+64k²+24k+4,
que es múltiplo de 4, que es el valor de TAU.

SIGMA((4K-1)³)=(4k-1)³+(4k-1)²+4k-1+1=64k³-48k²+12k-1+16k²-8k+1+4k-1+1=64k³-32k²+8k+4, también múltiplo de 4.

 Puedes comprobar que el número 2³ no es aritmético.

Todos los que tengan esos factores y que sean libres de cuadrados, por la propiedad multiplicativa, también serán aritméticos.

Además de ellos aparecerán otros con el factor 2, como 2744=2³*7³, pero no de forma sistemática.