Los números aritméticos son aquellos en los que el promedio de sus divisores positivos es un número entero. Expresado de otra forma, aquellos en los que su función TAU (número de divisores) divide a su función SIGMA (suma de divisores). Su similitud con nuestros números AROLMAR nos ha motivado a estudiarlos.
(ver http://www.hojamat.es/publicaciones/arolmar.pdf)
El interés de estos números no está en descubrirlos, ya que son abundantes, están publicados (https://oeis.org/A003601) y son fáciles de encontrar. Basta exigir que TAU(N) divida a SIGMA(N). Ambas funciones las puedes encontrar implementadas para hoja de cálculo en este blog y en nuestras publicaciones. Aquí nos interesaran más sus distintos tipos y propiedades.
En la siguiente tabla hemos organizado una búsqueda:
Observamos
que son aritméticos 1, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14 y 15.
Los primeros, ya publicados, son:
1, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 27, 29, 30, 31, 33, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 51, 53, 54, 55, 56, 57, 59, 60, 61, 62, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 73, 77, 78, 79, 83, 85, 86, 87, 89, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 99, 101, 102, 103, 105,...
Para quienes no tengan interés en las dos funciones SIGMA y TAU, adjuntamos una sencilla función en Vbasic para Excel y Calc:
function esaritmetico(n) as boolean
dim t,s,i,c
t=0 'variable
para TAU
s=0 'variable para SIGMA
for i=1 to n
if n/i=n\i then 'se trata de un divisor
t=t+1 'incrementa TAU
s=s+i 'incrementa SIGMA
end if
next i
c=s/t' cociente entre SIGMA y TAU
if c=int(c) then esaritmetico=true else
esaritmetico=false
End function
Aplicando esta función a cualquier buscador obtenemos la lista de números aritméticos.
Por ejemplo, esta es la lista de ellos entre 1000 y 1020:
Observamos que casi todos los números de ese rango son aritméticos. Más adelante combinaremos esta función esaritmetico con otras, para buscar propiedades interesantes.
Para búsquedas con PARI, la mejor función es la publicada en OEIS:
is(n)=sigma(n)%numdiv(n)==0 \\ Charles R Greathouse IV, Jul 10 2012
En la siguiente imagen se ha usado esta función en la página oficial de PARI, para comprobar el listado anterior:
A nivel elemental es adecuado el uso de nuestro Buscador de Naturales
(http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#buscador)
Se
entiende fácilmente la condición impuesta.
Carácter multiplicativo
Para entender algunas cuestiones que seguirán, hay que recordar que las funciones SIGMA y TAU son multiplicativas, es decir, que en ellas se cumple la igualdad fundamental de este tipo de funciones, que es
F(a*b)=F(a)*F(b) si a y b son primos entre sí.
Puedes consultar la teoría de estas funciones en nuestra publicación “Funciones multiplicativas” (http://www.hojamat.es/publicaciones/multifun.pdf)
Se puede construir un pequeño esquema con Excel o Calc para comprobar esta propiedad:
Escribimos
dos aritméticos primos entre sí y comprobamos que su producto también es
aritmético.
Números primos y sus productos
Todos los números primos p mayores que 2 son aritméticos, ya que son impares, su función Sigma(p) equivale a 1+p, par, y su función Tau(p) es 2, luego su cociente es entero. Como consecuencia, según demostró Ore (O. Ore, On the averages of the divisors of a number, Amer. Math. Monthly 55
(1948), 615-619), todo número libre de cuadrados impar ha de
ser aritmético, porque se puede aplicar la propiedad multiplicativa a todos
sus factores primos. Como ejemplo, hemos repetido el esquema de más arriba
usando productos de distintos primos:
Según lo anterior, los números semiprimos impares no cuadrados deberán ser aritméticos. Por ejemplo, 851=23*37
SIGMA(851)=SIGMA(23)*SIGMA(37)=24*38=912
y
como TAU(851)=4, se cumple la definición al ser 912 divisible entre 4.
Aritméticos no libres de cuadrados
Existen muchos números aritméticos que no son libres de cuadrados. Uniendo las dos propiedades de ser aritmético y de poseer una parte cuadrada mayor que 1, resultan estos otros números:
20, 27, 44, 45, 49, 54, 56, 60, 68, 92, 96, 99, 116, 125, 126, 132, 135, 140, 147, 150, 153, 164, 168, 169, 184, 188, 189, 198, 204, 207, 212, 220, 224, 236, 245, 248, 260, 261, 264, 270, 275, 276, 280, 284, 294,…
Entre ellos hay cuadrados, cubos o productos de cuadrados por otros factores. Según se explica en la página https://oeis.org/A023883, algunos tipos de ellos se pueden identificar:
Cuadrados de primos del tipo 6k+1
Lo podemos comprobar fácilmente, pues el valor de TAU será 3, y SIGMA será:
(6k+1)2+6k+1+1=36k2+18k+3
Esta expresión es claramente un múltiplo de 3, luego el número es aritmético.
Los primeros ejemplos son:
49,
169, 361, 961, 1369, 1849, 3721, 4489, 5329, 6241, 9409, 10609, 11881, 16129,…
Cubos de primos impares
Los cubos de primos tienen cuatro divisores, y en el caso de impares resulta:
TAU(N)=(2k+1)3+(2k+1)2+2k+1+1=8k3+12k2+6k+1+4k2+4k+1+2k+1+1=8k3+16k2+12k+4,
que es múltiplo de 4 y convierte en aritmético al cubo.
Primos del tipo 6k-1 multiplicados
por cuadrado de otro primo
La función TAU de p2q, siendo ambos primos será:
TAU(N)=TAU(p2)*TAU(q)=3*2=6
La función SIGMA vendrá dada por
(1+p+p2)(1+q)
y bastará con que sea q del tipo 6k-1 para que sea múltiplo de TAU.
En la tabla de los primeros casos de N=p2q observamos la abundancia de este tipo, de un primo al cuadrado multiplicado por otro q=6k-1.
Vimos anteriormente que el carácter de aritmético tiene la propiedad multiplicativa, es decir, que el producto de dos números aritméticos coprimos es otro número aritmético.
Llamaremos números aritméticos primitivos a aquellos que no hayan tenido ese origen, que no sean producto de dos aritméticos coprimos mayores que 1.
Podemos identificarlos con una función para VBasic:
Function esprimaritmetico(n)
Dim i, a, r
Dim sigue As Boolean
If Not esaritmetico(n) Then esprimaritmetico = False:
Exit Function
‘Si no es aritmético, no seguimos
sigue
= True ‘Control de detención de la búsqueda
i
= 2 ‘Posible divisor
r
= Sqr(n) ‘Buscamos hasta la raíz cuadrada
While
i < r And sigue ‘Bucle de búsqueda
If
n Mod i = 0 Then ‘Es divisor
a
= n / i ‘Posible factor aritmético
If
esaritmetico(i) And esaritmetico(n / i) And mcd(i, n / i) = 1 Then sigue =
False
‘Ambos aritméticos y coprimos
End
If
i = i + 1
Wend
esprimaritmetico = sigue
End Function
Con esta función y un buscador cualquiera, identificamos los aritméticos primitivos. Los primeros son estos:
1, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17, 19, 20, 22, 23, 27, 29, 31, 37, 38, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 53, 54, 56, 59, 61, 62, 67, 68, 71, 73, 79, 83, 86, 89, 92, 94, 96, 97, 99, 101, 103, 107, 109, 113, 116, 118, 125, 126, 127, 131, 134, 137, 139, 142, 149, 150, 151, 153, 157
Están publicados en https://oeis.org/A342438. Los hay primos y compuestos, pares e impares.
Los números primos han de ser necesariamente aritméticos primitivos, porque no son producto de dos factores mayores que 1.
Entre los números compuestos, según A342438, estarán los cuadrados de primos del tipo 6m+1. La razón es que son aritméticos, pues la suma de sus divisores es
36m2+12m+1+6m+1+1=36m2+18m+3,
que es múltiplo del valor de TAU, que es 3.
Como, además, no son producto de dos factores coprimos, deberán ser aritméticos primitivos.
También serán de este tipo los cubos de primos impares.
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