Consecutivos que son poligonales

La cuestión que inicio en esta entrada puede extenderse a varios casos interesantes. Solo me quedaré con algunos, porque van a ser muy similares unos a otros. Se trata de conocer si dos números consecutivos pueden ser ambos poligonales no triviales, es decir, que sus lados no tengan medida 1, pues en ese caso todos los enteros positivos son poligonales.

Comenzaremos con el caso general, en el que exigimos que dos números consecutivos sean ambos poligonales, pero no concretamos el orden de cada uno. No pueden tener el mismo orden, pues su diferencia sería siempre mayor que la unidad. Después pasaremos a tres casos en los que los órdenes de los dos números son también consecutivos. Por simple casualidad, están desarrollados en orden inverso de número de lados.

Poligonales en general

Los criterios para saber si un número es poligonal o no están ligados a un orden determinado. En este blog y en mis publicaciones sobre este tipo de números se ha usado la siguiente función para saber si un número es o no poligonal de un cierto orden:

Function espoligonal(n, k) As Boolean

Dim d

Dim e As Boolean

e = False

d = (k - 4) ^ 2 + 8 * n * (k - 2)

If escuad(d) Then

If esentero((k - 4 + Sqr(d)) / 2 / (k - 2)) Then e = True

End If

espoligonal = e

End Function

Esta función ya está explicada en varias entradas de este blog. En primer lugar, determina si un discriminante es cuadrado y, después, si el orden correspondiente es entero o no.

El problema de esta función es que necesita tener como dato el valor del orden del poligonal. Por eso, en este caso, hay que complementarla con esta otra:

Function esunpoligonal(n)

Dim i, es

If n < 3 Then esunpoligonal = 0: Exit Function

es = 0

i = 3

While i < n And es = 0

If espoligonal(n, i) Then es = i

i = i + 1

Wend

esunpoligonal = es

End Function

 

Es fácil interpretar que se recorren todos los órdenes posibles y si en alguno da solución afirmativa, es que es un poligonal, y devuelve su orden. En caso contrario devuelve un cero.

Con esta función, el criterio para saber si dos números consecutivos son ambos poligonales será:

esunpoligonal(n)>0 and esunpoligonal(n+1)>0

Con esta condición es fácil encontrar el conjunto de los primeros casos:

Al existir muchos ejemplos, su búsqueda es muy rápida. No obstante, aquí inserto la versión en PARI:

isapolygonal(n)={my(i=3,p=n/3+2);while(i<p&&!ispolygonal(n,i),i+=1);i<p}

ok(n)=isapolygonal(n)&&isapolygonal(n+1)

for(i=2,350,if(ok(i),print1(i,", ")))

Con ella podremos disponer las soluciones en forma de lista:

9, 15, 21, 24, 27, 33, 34, 35, 39, 45, 48, 51, 54, 57, 63, 64, 65, 69, 75, 81, 84, 87, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 99, 105, 111, 114, 117, 120, 123, 124, 125, 129, 132, 135, 141, 144, 147, 153, 154, 155, 159, 165, 168, 171, 174, 175, 176, 177, 183, 184, 185, 189, 195, 201, 204, 207, 213, 214, 215, 216, …

Conjuntos de consecutivos con al menos dos elementos

 No es difícil, contando con la función esunpoligonal, detectar los casos de conjuntos de dos o más  elementos consecutivos que sean todos poligonales no triviales (longitud del lado mayor que 2). En este caso fijaremos la atención en el primer elemento del conjunto. Basta exigir:

esunpoligonal(i) > 0 And esunpoligonal(i + 1) > 0  And esunpoligonal(i - 1) = 0

Con esta condición indicamos que el número anterior no sea poligonal, y los dos siguientes, sí. Con ella es fácil encontrar los primeros ejemplos:

9, 15, 21, 24, 27, 33, 39, 45, 48, 51, 54, 57, 63, 69, 75, 81, 84, 87, 90, 99, 105, 111, 114, 117, 120, 123, 129, 132, 135, 141, 144, 147, 153, 159, 165, 168, 171, 174, 183, 189, 195, 201, 204, 207, 213, 219, 225, 231, 234, 237, 243, 249, 252, 255, 258, 264, 267, 273, 279, 285, 291, 294, 297, 300,

Con PARI puedes probar este código:

 isapolygonal(n)={my(i=3,p=n/3+2);while(i<p&&!ispolygonal(n,i),i+=1);i<p}

ok(n)=!isapolygonal(n-1)&&isapolygonal(n)&&isapolygonal(n+1)

for(i=3,300,if(ok(i),print1(i,", ")))

Por ejemplo, 174 pertenece a la sucesión porque 174, 175, 176, 177 y 178 son todos poligonales no triviales y 173 no lo es.

 N pentagonal y N+1 hexagonal

Nos preguntaremos ahora si existen números pentagonales consecutivos con hexagonales, en este orden. El primer ejemplo es claro, pues no hemos exigido que no sean triviales, y serían 5 y 6. Los demás casos, como veremos, son mucho más complicados de abordar, por lo que lo haremos por fases y con paciencia.

Búsqueda directa

Si en Excel exigimos la condición  espoligonal(n,5) and espoligonal(n+1,6) o en PARI ispolygonal(n,5)&&ispolygonal(n+1,6), obtendremos las siguientes primeras soluciones.

 5, 6902, 209627, 259771820, 7889124465, 9776252688930,…

Observamos que el crecimiento es muy rápido y que sobrepasaremos la capacidad de Excel en pocos pasos. Por ello, y para más seguridad, es conveniente generar las siguientes soluciones mediante recurrencias.

Recurrencias

La fórmula de los pentagonales (ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2020/11/numeros-pentagonales-1.html y siguiente) es P(n)=(3n²-n)/2, y la de los hexagonales (https://hojaynumeros.blogspot.com/2021/02/numeros-hexagonales-1.html y siguiente) es H(n)=n(2n-1). Por tanto, en este caso, como se diferencian en 1, el planteo sería:

 (3n²-n)/2+1=k(2k-1)

Hemos llamado n al orden del pentagonal y k al del hexagonal consecutivo con él. Con un poco de Álgebra y un cambio de variable llegaremos a una ecuación tipo Pell. Los pasos son:

3n²-n=4k²-2k-2

Cada miembro lo simplificamos con cambio de variable: X=6n-1, Y=4k-1

3n²-n=(9n²-3n)/3=((3n-1/2)²-1/4)/3=(X²-1)/12

4k²-2k-2=(2k-1/2)²-9/4=(Y²-9)/4

Igualamos con las nuevas variables.

 (X²-1)/12=(Y²-9)/4

(x²-1)=3(y²-9)

x²-3y²=-26

Esta es una ecuación del tipo Pell (Pell-like), que no tiene resolución automática, por lo que hay que encontrar una primera solución y después intentar recurrencias entre las demás soluciones. No es un proceso fácil en general.

En este caso conocemos las soluciones 5 y 6 para los poligonales, en los que n=2 y k=2, por lo que deben ser soluciones X=6*2-1=11, Y=4*2-1=7, y, en efecto, cumplen la ecuación:

11²-3*7²=121-3*49=121-147=-26

Si intentamos resolver la ecuación de Pell con estos datos, nunca obtenemos un segundo miembro igual a -26, solo 1 y -2:

En estos casos se aconseja buscar algún tipo de recurrencia similar a la que nos resolvería la ecuación de Pell pura, x²-3y²=1. Hay que tener un poco de suerte e intuición. En nuestro caso, como por búsqueda directa ya conocíamos las primeras soluciones, no fue excesivamente complicado. Las fórmulas de recurrencia entre X e Y que resultaron funcionar fueron:

X(n+2)=97*X(n)+168*Y(n)

Y(n+2)=56*X(n)+97*Y(n)

La segunda solución después de la X(1)=11 Y(1)=7 la dedujimos de la búsqueda directa, y resultaron ser X(2)=407, Y(2)=235. Con todos estos datos se pudo completar el cuadro de las primeras soluciones de X e Y:

Las últimas resultaban menos fiables, y hubo que corregirlas con PARI y la calculadora WIRIS.

De los valores de X e Y es fácil extraer los de los órdenes n y k:

Para revisar estos valores hemos usado la recurrencia, derivada de la anterior:

N(n+2)=97*N(n)+112*K(k)-44

K(n+2)=84*N(n)+97*K(n)-38

Y, por último, los valores consecutivos del pentagonal y el hexagonal a partir de sus órdenes:

Sólo se han incluido los valores que son fiables en Excel. Los siguientes superan su capacidad de cálculo, Si acudimos a otras herramientas que manejen todas las cifras, llegamos a la lista definitiva de los pentagonales:

5, 6902, 209627, 259771820, 7889124465, 9776252688930, 296899309928135, 367919493435441752, 11173508621946330077, 13846282206173162227790, 420503823181428876211635, 521090984179201293845229060, 15825240870436385705402363465, 19610738084753779286398188238202, 595567114497499116455683670452127

Evidentemente, los hexagonales son sus consecutivos. Vemos el ejemplo de 259771820:

El orden de 259771820 es, según las tablas de arriba, 13160, y se cumple:

P(13160)=(3*13160^2-13160)/2=259771820

El orden del hexagonal sería 11397 y se verifica:

H(11397)=11397*(2*11397-1)=259771821, que resulta consecutivo con el anterior.

Con esto damos el problema como resuelto. Ha sido bastante entretenido todo el proceso de llegar a una lista fiable.

 

N cuadrado y N+1 pentagonal

Sin pretenderlo, vamos a estudiar los casos en orden decreciente. Ha sido una casualidad. Nos toca ahora encontrar los cuadrados cuyo consecutivo es pentagonal.

Usando la misma función espoligonal(n,k) para los casos k=4 y k=5 hemos obtenido las primeras soluciones para el caso k=4 (cuadrados) con Excel:

 4, 144, 2500, 43264, 1387684, 24010000, 415425924, 13324546624, 230544022500, 3988919683984, 127942295300964

Con PARI, generando los cuadrados de forma rápida, ampliamos y comprobamos la lista:

n=2;m=4;while(n<=10^8,if(ispolygonal(m+1,5),print(m));m+=2*n+1;n+=1)

4, 144, 2500, 43264, 1387684, 24010000, 415425924, 13324546624, 230544022500, 3988919683984, 127942295300964, 2213683680040000, 38301606390193444,…

Al igual que en el caso anterior, con un poco de Álgebra llegamos a una ecuación tipo Pell:

 Será: n²+1=(3k²-k)/2

Y n²=(3k²-k)/2-1=(9k²-3k)/6-1=(36k²-12k+1)/24-1-1/24

Mediante cambio de variables X=6k-1, Y=n llegamos a la ecuación de tipo Pell X²-24Y²=25

Esta nos ha dado más trabajo que la anterior, porque la recurrencia válida se aplica a n+3 en lugar de n+2 o n+1. Ha resultado ser:

X(n+3)=49X(n)+240Y(n)

Y(n+3)=10X(n)+49Y(n)

Así, a partir de los primeros valores de X e Y deduciremos los de n y k, y, por último, a los del cuadrado y el pentagonal consecutivos. Al final, las soluciones para el cuadrado, primer número de los dos consecutivos, son:

4, 144, 2500, 43264, 1387684, 24010000, 415425924, 13324546624, 230544022500, 3988919683984, 127942295300964, 2213683680040000, 38301606390193444, 1228501906155314704, 21255790465200062500, 367772020569717770304, 11796075174961036491844,…

Se puede plasmar en esta construcción de una lista en PARI:

lista(m) = {my(x=vector(m),y=vector(m),z=vector(m),n);x[1]=2;x[2]=10;x[3]=41;y[1]=2;y[2]=12;y[3]=50;z[1]=4;z[2]=144;z[3]=2500;for(n=4,m,x[n]=49*x[n-3]+40*y[n-3]-8;y[n]=60*x[n-3]+49*y[n-3]-10;z[n]=y[n]^2);z}

print(lista(18));

[4, 144, 2500, 43264, 1387684, 24010000, 415425924, 13324546624, 230544022500, 3988919683984, 127942295300964, 2213683680040000, 38301606390193444, 1228501906155314704, 21255790465200062500, 367772020569717770304, 11796075174961036491844, 204098097833167320090000]

 

N triangular y N+1 cuadrado

Este caso está ya publicado en http://oeis.org/A006454. Por eso, nos limitaremos a comprobar resultados usando nuestros métodos.

0, 3, 15, 120, 528, 4095, 17955, 139128, 609960, 4726275, 20720703, 160554240, 703893960, 5454117903, 23911673955, 185279454480, 812293020528, 6294047334435, 27594051024015, 213812329916328, 937385441796000, 7263325169820735, 31843510970040003, 246739243443988680

Con las funciones de Excel, obtenemos la misma lista, exigiendo espoligonal(n,3) and espoligonal(n+1,4). En este caso disponemos en este blog de las funciones alternativas estriangular(n) y escuad(n+1). Con ambas es fácil reproducir los primeros elementos:

También aquí se pueden usar recurrencias. Con un proceso similar a los anteriores se llega a que X(n+2)=X(n)+3Y(n), Y(n+2)=3X(n)+8Y(n), con X=2O1+1, Y=O2, siendo O1 el orden del triangular y O2 el del cuadrado. De esa forma, a partir de los términos iniciales de la tabla anterior, se puede llegar más lejos de lo publicado en la sucesión A006454:

[3, 15, 120, 528, 4095, 17955, 139128, 609960, 4726275, 20720703, 160554240, 703893960, 5454117903, 23911673955, 185279454480, 812293020528, 6294047334435, 27594051024015, 213812329916328, 937385441796000, 7263325169820735, 31843510970040003, 246739243443988680, 1081741987539564120]

Para quien quiera avanzar más, dejamos el código en PARI. Bastará sustituir el 24 de la última línea por un número mayor:

lista(m) = {my(x=vector(m), y=vector(m), z=vector(m),n); x[1]=5; x[2]=11; y[1]=2; y[2]=4 ; z[1]=3; z[2]=15; for(n=3, m, x[n]=3*x[n-2]+8*y[n-2]; y[n]=x[n-2]+3*y[n-2]; z[n]=y[n]^2-1); z}

print(lista(24));

Este desarrollo resulta muy instructivo, pues se han combinado varias técnicas matemáticas, con la consiguiente concurrencia de resultados. Queda abierta la posibilidad de seguir aumentando el número de lados, pero lo importante está ya explicado.