Número octogonal

 Introducción

Con los poligonales de ocho lados (octogonales) finalizamos la serie de estudios individualizados de cada tipo. En una última entrada se incluirán referencias rápidas de otros  poligonales.

Como en casos anteriores, se recomienda visitar algún tipo de los ya estudiados en este blog, como los hexagonales o heptagonales.

Definición e inserción con los poligonales en general

La formación de un número octogonal sigue el mismo procedimiento que en los casos anteriores. El simple estudio de esta imagen lo aclara:

Vemos en ella cuatro octógonos que se forman sobre un mismo vértice y sus dos lados adyacentes, con un número de unidades por lado creciente. Su índice es 5, porque lo forman cuatro polígonos más la unidad del principio que también se cuenta. Así que este esquema representa un poligonal de orden 8 con índice 5.

Par calcular su número de unidades partimos, como en toda la serie, de la fórmula general:

Basta sustituir k por 8 para obtener la fórmula adecuada para los octogonales, que representaremos como Oc(n):

Así, el número de unidades del octogonal de la imagen de arriba será:

Con esta expresión es fácil crear una columna de octogonales en una hoja de cálculo:

Estos son los primeros octogonales:

1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, 176, 225, 280, 341, 408, 481, 560, 645, 736, 833, 936,… (http://oeis.org/A000567)

 

Descomposiciones diversas de un número octogonal

Los números octogonales participan de las descomposiciones generales de todos los poligonales. Las repasamos para este caso:

Suma de una progresión aritmética de diferencia 6 partiendo de 1

1+7=8

1+7+13=21

1+7+13+19=40

Basta ver en la imagen anterior que en cada capa nueva de octógonos el incremento es 6 unidades mayor que el anterior. Algebraicamente:

Un triángulo de lado k y 5 triángulos de lados k-1

Por ejemplo, 176 es el octogonal de orden 8 y equivale a un triangular de ese índice y cinco del anterior:

176=8*9/2+5*7*8/2=36+5*28=36+140=176

Gráficamente:

Algebraicamente: n(n+1)/2+5n(n-1)/2 = (n²+n+5n²-5n)/2 = 3n²-2n

 

Un lado de longitud k y 6 triángulos de índice k-1

Una propiedad similar se demostró en tipos anteriores, por lo que omitimos su justificación. Es tan sencilla como la anterior.

Lo aplicamos al octogonal de índice 9, 225:

225=9+6*8*9/2=9+6*36=9+216=225

 

Un cuadrado y cuatro triángulos de una unidad menos

Esta descomposición es propia de los octogonales. Se deduce de su fórmula:

Lo aplicamos al 133, que tiene lado 7:

133=7²+4*6*7/2=49+4*21=49+84=133

En la imagen reconocemos los cuatro cuadrados (contornos en negro) y dos triangulares consecutivos (índices 4 y 5, los de contorno rojo) que adosados forman un cuadrado de lado 5.

Del desarrollo efectuado anteriormente también se deduce la siguiente descomposición:

Un octogonal equivale a la suma de un cuadrado con el doble de un oblongo

Los números oblongos son los del tipo N(N+1) o N(N-1). Así que también lo hemos deducido sin saberlo:

El octogonal 280 se puede descomponer así:

280=10²+2*10*9=100+180=280

 Criterio para reconocer octogonales

Como en otros casos, para que N sea octogonal, ha de tener solución entera positiva la ecuación N=3n²-2n, o 3n²-2n-N=0

Resolviendo:

Si la solución es entera positiva, N será octogonal. Lo podemos plasmar con la función:

Function ordenoctogonal(n)

Dim a, b

 

b = 0

a = 3 * n + 1 ‘Debe ser un cuadrado

If escuad(a) Then

b = (1 + Sqr(a)) / 3 ‘Solución de la ecuación

If b <> Int(b) Then b = 0 ‘Ha de ser entera

End If

ordenoctogonal = b

End Function

 

Con esta función podemos comprobar, por ejemplo, que en el rango 300-310 no existe ningún octogonal:

Si hubiéramos buscado en el rango 400-410 habríamos encontrado que 408 es el octogonal número 12:

Algunas propiedades

Los números octogonales alternan la paridad .

Con índice par 2k:

Oc(2k)=3(2k)²-2(2k)=12k²-4k, que es claramente par.

Con impar 2k+1:

Oc(2k+1)=3(2k+1)²-2(2k+1)=12k²+12k+3-4k-2=12k²+12k-4k+1, que es impar.

Esta alternancia se comprueba en su listado:

1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, 176, 225, 280, 341, 408, 481, 560,…

 

Una propiedad atractiva

Amarnath Murthy propone en http://oeis.org/A000567 la siguiente propiedad:

Oc(n) = (3n-2)(3n-1)(3n)/((3n-1) + (3n-2) + (3n))

En efecto: (3n-2)(3n-1)(3n)/(3*(3n-1)) = n(3n-2) = 3n²-n=Oc(n)

Traduciendo a lenguaje ordinario, los octogonales equivalen al producto de tres números naturales consecutivos adecuados dividido entre su suma. Por ejemplo, el 408 equivale a 34*35*36/(34+35+36).

 

Número de divisores

J. Lowell propone en esa misma página que el octogonal de índice n equivale al número de divisores de 24^(n-1). En realidad, no es necesario usar el número 24, pues valdría para esta propiedad cualquier número con dos divisores y exponentes 3 y 1 respectivamente. En efecto, en este caso la función TAU que cuenta divisores valdría:

TAU=(1+3(n-1))(1+n-1)=(3n-2)*n=3n²-2n

En la página indicada de OEIS se presentan más propiedades, pero con las que hemos publicado ya basta por hoy.