jueves, 3 de abril de 2014

Comprobar conjeturas con hoja de cálculo – Legendre


Conjetura de Legendre

Esta conjetura afirma que entre dos cuadrados consecutivos n2 y (n+1) 2 existe siempre un número primo.

Se considera básica e importante, por lo que se incluyó en los Problemas de
Landau (http://en.wikipedia.org/wiki/Landau%27s_problems)

Al igual que en la conjetura de Andrica (http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2014/03/comprobar-conjeturas-con-hoja-de.html) sólo necesitamos para estudiarla las funciones ESPRIMO y PRIMPROX, incluidas en la herramienta que hemos preparado para el estudio de conjeturas.

 (ver http://hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm#conjeturas)

Es fácil organizar los cálculos. Diseñamos una columna con los primeros números naturales y junto a ella la de sus cuadrados. Después, a la derecha de cada cuadrado calculamos la función PRIMPROX sobre él para encontrar su próximo primo. Este deberá pertenecer al intervalo formado por ese cuadrado y el siguiente:

A simple vista vemos que cada primo de la tercera columna es menor que el siguiente cuadrado: 67 menor que 81, luego está comprendido entre 64 y 81, o 149, que pertenece al intervalo (144, 169), y así con todos.

Nada impide que comiences la lista no con el 1, sino con un cuadrado mayor, como ves en la imagen



Si lo vas a explicar a otras personas, podías añadir una cuarta columna con una fórmula de tipo condicional =SI(el primo es menor que el siguiente cuadrado;”Vale”;”Error”)

De hecho, no existe sólo un número primo entre dos cuadrados, sino que pueden entrar más. Tienes ese dato en http://oeis.org/A014085. Puedes descubrirlo tú con la función PRIMPROX. Sólo copiamos un esquema para el cuadrado de 26, con un resultado de 7 primos:



Si construyes bien un esquema similar podrás encontrar el número de primos entre otros cuadrados consecutivos.

Otro ejercicio sencillo sería, dado un número primo encontrar entre qué cuadrados está. No necesitas saber mucho ¿Cómo se haría? Recuerda la función ENTERO. Ahí tienes un ejemplo:



Otra formulación

Si usamos la función p, que da la distribución de los números primos (p(200) equivaldría a los primos que existen menores o iguales a 200), la conjetura de Legendre se podría expresar así:


En nuestra herramienta conjeturas.xlsm hemos implementado la función PPI(n) (le añadimos una p para que no se confunda con el número p, que se expresa como PI()) Con ella es fácil verificar la conjetura: escribes los dos cuadrados consecutivos y le aplicas la función PPI a cada uno. Restas y deberá darte un número mayor que 0. Puedes construirte un esquema de cálculo similar al de la imagen:



En la página http://oeis.org/A014085 citada más arriba se incluye una generalización de esta conjetura, en el sentido de el exponente 2 se podría sustituir por otro más pequeño. Se ha conjeturado que se podría llegar hasta log(127)/log(16)= 1,74717117169. Se entiende que con carácter general, para todos los valores. Más abajo verás que en un caso particular se puede llegar a valores más pequeños.

Si el esquema anterior lo modificamos para que en lugar de un cuadrado usemos el exponente que deseemos nos servirá para acercarnos al valor mínimo en el que la conjetura sigue siendo cierta:



Nos hemos dedicado a aproximar este caso al valor mínimo posible y hemos llegado hasta el exponente 1,20545 como mero entretenimiento.

Andrica y Legendre

Si la conjetura de Andrica es cierta (ver http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2014/03/comprobar-conjeturas-con-hoja-de.html), de ella se deduce la de Legendre. En efecto, vimos en la entrada enlazada que la diferencia entre un primo Pn y el siguiente Pn+1, si la conjetura de Andrica se verdadera, debería cumplir la desigualdad

De ella se deduciría la de Legendre fácilmente. Supongamos que alguien descubre que entre dos cuadrados consecutivos n2 y (n+1)2 no existe ningún número primo. En este caso llamemos pn al primo inmediatamente menor que n2. Sería pn<n2<pn+1. Según la desigualdad anterior ocurriría que si no existiera ningún primo entre n2 y (n+1)2 tendríamos


Esto está en contradicción con la desigualdad previa, luego ha de existir un primo entre ambos cuadrados.

Otra formulación más

Es evidente que la conjetura de Legendre es equivalente a la afirmación de que entre dos números consecutivos n y n+1 siempre existe un número que es la raíz cuadrada de un número primo. Pero esto nos va a dar juego para otra entrada.