Un conjunto interesante (2) y una ecuación cuadrática

En la anterior entrada construimos el conjunto de pares de números consecutivos en el que ambos contienen un divisor cuadrado mayor que 1 (ver http://oeis.org/A068781). Analizamos la parte libre de cada uno y se desechó una propiedad que resultó ser falsa.

Todo el análisis de la parte libre de estos números depende de las soluciones de la ecuación.
aX²-bY²=1 

Conviene que repases http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2014/02/un-conjunto-interesante-1-numeros.html

Como todas las ecuaciones diofánticas de grado dos, no es fácil de resolver, pero desde Gauss sabemos que habrá que acudir a la ecuación de Pell

(http://hojamat.es/parra/pell.pdf y http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2010/02/ecuacion-de-pell.html)

No he encontrado muchas referencias sobre la ecuación que hemos planteado, pero consultando páginas como

http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation2ndPowers.html

y otras similares he podido diseñar una herramienta en hoja de cálculo que nos permitirá resolverla. Los hechos en que se basa son:

 (a) Para resolver aX²-bY²=1  la tratamos como una ecuación de Pell, desarrollando en fracciones continuas la raíz cuadrada de b/a (o la inversa, da igual). Obsérvese que a y b deberán ser primos entre sí para que exista solución. Por ejemplo, para resolver  11X²-7Y²=1 desarrollaremos la raíz cuadrada de 11/7, 0,7977240352.

Hemos preparado la hoja de forma que debajo de cada convergente se calcule el valor de aX²-bY² para encontrar una posible solución. La tienes alojada en la dirección

http://hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#ecucuad

Vemos que ha encontrado la solución 176 y 175, en la que 176=11*4² y 175=7*5². Este procedimiento, si existe solución, la suele dar en las primeras convergentes. Si proseguimos la búsqueda entre las siguientes encontraremos más soluciones. La siguiente es 86486576=11*2804² y 86486575=7*3515².

La hoja de cálculo no da para mucho más, pero por la periodicidad del desarrollo en fracciones continuas de un radical cuadrático, sabemos que se repetirá el valor 1 en los cálculos. En este caso cada seis convergentes. La siguiente solución será:

Aunque nuestro cálculo se interrumpa, hemos conseguido descubrir que si entre los pares pertenecientes a nuestro conjunto se da un juego de partes libres (a, b), (en nuestro ejemplo 11 y 7), existirán infinitos pares con ese mismo par de partes libres.

Otro ejemplo: para 3 y 7 encontramos los pares (27,28) (332667, 332668),  (4024611387, 4024611388) y (48689748233307, 48689748233308) Nuestra hoja abandona aquí.

Es una lástima que no podamos seguir, pero si dispusiéramos de una fórmula de recurrencia podríamos acudir a instrumentos de cálculo más potentes que nos dieran las restantes soluciones.

(b) Las fórmulas de recurrencia que permiten encontrar todas las soluciones que deseemos las hemos implementado siguiendo las ideas contenidas en el documento http://bratu.oltenia.ro/GAUSS.pdf, del que reproducimos la recurrencia que nos interesa:

Hemos adaptado las fórmulas a nuestro caso, en el que b=0, y parece funcionar muy bien (nos queda alguna duda teórica, pero en esta aventura llegaremos a donde podemos, ya se advirtió). El cálculo de las fórmulas de recurrencia se ha implantado debajo del desarrollo de la ecuación de Pell. Es un algoritmo paralelo, en el que en lugar de desarrollar la raíz de b/a se efectúa con el discriminante de la ecuación.

Con él se obtienen las dos soluciones t y u, en nuestro ejemplo 55 y 6.

Una vez obtenidos esos coeficientes, se construye con ellos una matriz de recurrencia según el recorte de documento insertado más arriba (adaptado al caso b=0) y después se aplica en la parte inferior a la obtención de las siguientes soluciones:

Se han reproducido las soluciones escritas más arriba, pero pronto aparecen en coma flotante. No importa, porque hemos obtenido lo fundamental, y es la matriz de recurrencia. Efectivamente, obtendríamos con ella lo siguiente:

X_n=X_n-1*55+Y_n-1*36
Y_n=X_n-1*84+Y_n-1*55

Así podemos pasar a otro instrumento más potente, como el lenguaje PARI.

{x=2;y=3;for(i=1,7,x0=x;x=55*x0+36*y;y=84*x0+55*y;print(7*x*x);print(3*y*y))}

Y obtenemos más pares debidamente escritos:

El único problema es que hay que cambiar ocho parámetros para cada caso, pero como se trata sólo de satisfacer una curiosidad, tampoco se va a plantear en muchas ocasiones.

Lo importante es que en nuestro conjunto hemos descubierto la existencia de infinitas familias, cada una con infinitos elementos, según los valores de las partes libres.

Pero hay más familias ahí dentro. Lo vemos en la siguiente entrada.