martes, 25 de febrero de 2014

Números de Pell

Esta entrada participa en la Edición 5.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.

El tema de hoy es parte de una serie que alargamos en el tiempo para no cansar a los lectores. Es muy conveniente repasar las dos primeras entradas, especialmente para recordar nuestra notación:

 http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2014/01/recurrencias-lineales-de-segundo-orden.html

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2014/01/sucesion-de-jacobsthal.html

Estudiamos un nuevo caso de sucesiones recurrentes de segundo orden, y aquí también usaremos nuestra herramienta de hoja de cálculo

(http://hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#recurre2)

Tomamos como coeficientes de recurrencia A=2 y B=1. Es decir, que X(n+1)=2X(n)+X(n-1). Si como valores iniciales tomamos 0 y 1 resultan los números de Pell  o números lambda (Horadam(0,1,1,2). http://oeis.org/A000129



0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, 33461, 80782, 195025, 470832,…Los representaremos como P(n)

Como su nombre indica, contiene soluciones de la ecuación de Pell x2-2y2=1. En concreto, los valores P(2n+1), es decir 0, 2, 12, 70, 408, 2378,…corresponden con los valores de Y en la solución. Con nuestras hojas de cálculo pell.xls y pell.ods

http://hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#ecuadio

 lo puedes comprobar, como se refleja en la imagen:


Si tomáramos como valores iniciales X(1)=1 y X(2)=1, resultaría una sucesión complementaria:

1, 1, 3, 7, 17, 41, 99, 239, 577, 1393, 3363, 8119, 19601, 47321, 114243, 275807,…

Observa que aquí los términos de índice impar se corresponden con los valores de X en la solución de la ecuación: 1, 3, 17, 99, 577,…La llamaremos sucesión Pell2 y la representaremos como P’(n)

 Así que ya sabes por qué se eligió el nombre de “números de Pell”. Ambas sucesiones también contienen las soluciones de x2-2y2=-1.



En la imagen queda claro que los términos de índice 2n en ambas sucesiones son soluciones con -1 en el segundo miembro. Según eso, los números de PELL recogen todos los casos en los que 2k^2±1 es un cuadrado, porque es como despejar la X en la ecuación de Pell.

Te dejamos que saques tus consecuencias, o busques otras correspondencias en http://oeis.org/A000129 y en http://oeis.org/A001333. Una muy interesante es que

P(n+1)=P(n)+P’(n)

En efecto, se cumple para los primeros valores (ver tabla anterior) 3+2=5, 7+5=12, 17+12=29,…luego bastará comprobarlo por inducción.

P(n+2)=2P(n+1)+P(n)=2(P(n)+P’(n))+P(n-1)+P’(n-1)=P(n+1)+P’(n+1)

Intenta justificar esta otra:

P(n+1)=P’(n+1)-P(n) 

Los primeros cálculos en la tabla serían: 3-1=2, 7-2=5,17-5=12,…

De ellas dos resultaría una tercera:

2P(n+1)=P’(n+1)+P’(n)

Ambas sucesiones también intervienen en las fracciones continuas del desarrollo de la raíz de 2. Todo esto ocurre porque en ambos casos la generación de numeradores y denominadores siguen la misma ley de recurrencia. Lo vemos en nuestras herramientas fraccont.xls y fraccont.ods

(http://hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#algoritmo)





Fórmula general

Acudimos al estudio de la ecuación característica, que vemos presenta dos soluciones reales: 2,4142 (uno más la raíz de 2) y –0,4142 (uno menos la raíz de 2) e interpretando los coeficientes de abajo resulta:

Comprueba: Para n=0 resulta P(0)=0, para n=1, P(1)=1, y además P(2)=2, P(3)=5,…

Al tener la segunda potencia una base menor que la unidad en valor absoluto, si n tiende a infinito, ese sumando tiende a cero, con lo que es fácil ver que


Puedes crear una columna de cocientes en hoja de cálculo para comprobarlo

Para la sucesión complementaria Pell2 la fórmula que resulta es

Para n=0 te resulta 1, para n=1, P’(1)=1, para x=2, P’(2)=3, y así con todos.

Con la primera fórmula se puede demostrar esta identidad:

P(n+1)P(n-1)-P(n)2=(-1)n

Aquí tienes la comprobación con hoja de cálculo:



Función generatriz

Con el procedimiento general explicado en la primera entrada del tema deduciremos que


Una curiosa propiedad

Para no recargar la primera entrada sobre recurrencias de segundo orden no incluimos este tipo de propiedades, y la desarrollamos ahora:

La cifra de las unidades de los distintos términos de la sucesión de Pell recorre el conjunto ordenado {0, 1, 2, 5, 2, 9, 0, 9, 8, 5, 8, 1} Lo puedes comprobar con los primeros: 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, 33461,…Para asegurarse de que es un fenómeno periódico, en el que se repiten resultados en el mismo orden basta saber que el valor de cada uno sólo depende de los dos anteriores, por tratarse de las unidades (si fueran decenas por ejemplo, se verían alteradas por los arrastres).

Si x(n) termina en una cifra K y x(n+1) en otra H, x(n+2) deberá terminar necesariamente en (2*K+H) MOD 10. Así 169 y 408 deberán producir una cifra de unidades (8*2+9) MOD 10, es decir, el 5, y en efecto, el siguiente término es 985. Como juegos del tipo {K,H} sólo pueden aparecer 100 distintos, se llegará a un término en el que se repita el mismo juego de cifras, luego:

La cifra de las unidades de cualquier sucesión definida por recurrencia de segundo orden debe repetirse en los términos sucesivos (salvo quizás los iniciales) con un periodo igual o menor que 100.

En la sucesión de Pell el periodo es 12, como hemos visto. En la de Jacobsthal (http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2014/01/sucesion-de-jacobsthal.html) es de sólo 4: {1, 1, 3, 5} Compruébalo: 0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691,…Con cálculos 1+1*2=3; 3+1*2=5; 5+2*3=11 (cifra 1)…

A veces el periodo es muy amplio. Lo intentamos con la sucesión de Fibonacci y se sobrepasaba la capacidad de la hoja de cálculo, por lo que acudimos  a nuestra STCALCU (http://hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#stcalcu) descubriendo que el periodo es de 60 elementos nada menos:

{1, 1, 2, 3. 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4, 3, 7, 0, 7, 7, 4, 1, 5, 6, 1, 7, 8, 5, 3, 8, 1, 9, 0. 9, 9, 8, 7, 5, 2, 7, 9, 6, 5, 1, 6, 7, 3, 0, 3, 3, 6, 9, 5, 4, 9, 3, 2, 5, 7, 2, 9, 1, 0} (ver http://oeis.org/A003893)

Aplicaciones y propiedades

¿Cuándo un número es triangular y cuadrado a la vez?

Lo planteamos: k^2=h(h+1)/2 y transformando 8k^2+1=4h^2+4h+1=(2h+1)^2 Si llamo x=2h+1 e y=2k nos queda 2y^2+1=x^2 y por fin x^2-2y^2=1, ecuación de Pell que nos da la solución mediante los números de Pell. Después aplicaremos k=y/2 y h=(x-1)/2

Según estas equivalencias, k será igual a la mitad de los números de Pell de orden impar y su cuadrado el triangular buscado. Calculamos y obtenemos así la lista de los números que son triangulares y cuadrados a la vez:



Nos han resultado 0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, …(http://oeis.org/A001110)

Una interpretación

P(n) equivale al número de formas en las que se puede descomponer n-1 en sumandos ordenados 1 y 2, pudiendo tener el 1 dos colores diferentes.

Por ejemplo, P(4)=12, porque el 3 se puede descomponer así:

2+1, 2+1, 1+2, 1+2, 1+1+1, 1+1+1, 1+1+1, 1+1+1, 1+1+1, 1+1+1, 1+1+1, 1+1+1

Primos de Pell

Para que un número de Pell P(n) sea primo es necesario que n sea primo. Los valores de n que producen esos primos son 2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 1,… que producen los números de Pell primos

2, 5, 29, 5741, 33461, 44560482149, 1746860020068409,…

Los compuestos no pueden producir primos, porque en la expresión


se puede descomponer entonces el exponente n, lo que produce la descomposición de la expresión en al menos dos factores, uno de los cuales será una diferencia de potencias similares con exponente mayor que 1, que absorberá el denominador.

Desarróllalo con cuidado y lo comprobarás.