Un conjunto interesante (1). Números consecutivos, ambos no libres de cuadrados

Comenzamos como en otras ocasiones con una pequeña alineación de cuadrados y una cuestión sobre ellos. En el momento de escribir este primer párrafo no sabemos a dónde nos llevará la misma, pues hemos querido construir la entrada así, como en un camino al azar. Concretamos:

Imagina un conjunto de cuadrados alineados, por ejemplo 11 cuadrados de 3 por 3:

Si le quitamos un cuadrado pequeño, ¿se podrá construir con los 98 que quedan otra alineación de cuadrados de lado mayor que la unidad?

En este caso la respuesta es afirmativa, basta observar la imagen:

En otros casos es negativa: 48 está formado por tres cuadrados de 4 por 4 y si le quito una unidad resulta el número primo 47 que no permite nada de eso.

¿Qué pares de números consecutivos permiten ambos su descomposición en un conjunto de cuadrados iguales o en un solo cuadrado?

Tenemos definiciones para esta situación, pero para no complicarla en exceso exigiremos otra condición, y es que el número de cuadrados que entran en la alineación no sea en sí mismo un cuadrado. De esta forma podemos llegar a un terreno teórico más simple. En efecto, si consultas nuestra entrada

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2011/05/parte-cuadrada-y-parte-libre.html

te darás cuenta de que los sumandos cuadrados serán la parte cuadrada del número total, y la expresamos como PC(N). Entonces PC(99)=9 y PC(98)=49 y el número de cuadrados (él mismo no cuadrado) será la parte libre de cuadrados, expresada como PL(N). En nuestro ejemplo PL(99)=11 y PL(98)=2.

Así que reformulamos la pregunta:

¿Qué pares de números consecutivos son ambos no libres de cuadrados?
 (Es decir, que su parte cuadrada no sea la unidad)

Si se dispone de la función partecuad(n), la parte libre se encontrará como el cociente entre n y su parte cuadrada. En la entrada siguiente a la enlazada tienes un código en Basic de hoja de cálculo que te lo resuelve (http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2011/05/parte-cuadrada-y-parte-libre-solucion.html)

Si ya se tiene implementada esa función, bastará esta búsqueda:

For i=1 to 1000 (u otro tope)
If partecuad(i)>1 and partecuad(i+1)>1 then msgbox(i)
Next i

Así los hemos buscado de forma algo más ordenada y los primeros pares obtenidos han sido

Observa que entre ellos está el par (98, 99) del ejemplo. Prueba con otros: 80 son 5 cuadrados de 4 por 4 y 81 un cuadrado de 9 por 9, 75 equivale a 3 cuadrados de 5 por 5 y 76 contiene 19 cuadrados de 2 por 2.

En PARI la parte libre la da la función core(n) y por tanto la parte cuadrada equivale a n/core(n). Así se entiende fácilmente este código:

{for (n=1, 10^3,if(n/core(n)>1&&(n+1)/core(n+1)>1,print(n)));}

Los elementos menores de cada par los tienes recogidos en http://oeis.org/A068781. Ahí se destacan propiedades que comentaremos en las siguientes entradas.

Variedad en las partes libres

Es interesante ampliar la tabla anterior con las partes libres de cada uno de los números de estos pares. No nos cabe aquí la gran variedad de resultados que se producen. Aunque sea reduciendo el tamaño, incluimos algunos de los casos:

Vemos que los pares de partes libres a y b presentan gran variedad de valores, unos similares entre sí, como 2 y 3, otros muy lejanos, como 127 y 3 y otros que contienen la unidad.

Podemos representarlos en un diagrama de dispersión y nos llevamos una gran sorpresa:

Aparentemente todas las partes libres a y b pertenecen a familias que están relacionadas entre ellas por el mismo coeficiente lineal b/a. Para salir de dudas creamos una quinta columna con esos cocientes y vemos que ¡ES FALSO! No existe esa relación lineal. Es sólo aproximada.

Por ejemplo, la línea marcada fuertemente con pendiente similar a ½ está formada por estos valores de b/a que son todos cercanos a 4/9, pero ninguno igual.

Hemos ordenado la tabla según valores para que destaque mejor la no igualdad en los cocientes.

Observando cuidadosamente los valores de b/a cuya similitud ha engañado a nuestra vista, se descubre que están cerca de estos cocientes de cuadrados: 4/25, 9/16, 4/9, 9/4, 16/9, 25/4,…

Si nos paramos a pensar, este hecho tiene una explicación fácil: todos los números que estamos encontrando satisfacen una ecuación de este tipo: aX²-bY²=1, siendo a y b las partes libres y X² y Y² las cuadradas. Dividiendo entre a y despejando queda:

Por tanto, existe una pequeña diferencia entre el cociente b/a y ese otro cociente entre dos cuadrados. No había lugar para la sorpresa (nuestros lectores verán que cumplimos la idea de recorrer esta entrada a la aventura)

En la siguiente entrada volveremos a la ecuación aX²-bY²=1 (¡Esto sí estaba programado!)

A veces se da la identidad entre las partes libres. Por ejemplo, 49 y 50 se corresponden con 72*1 y 52*2 y el par 1681=412*1 y 1682=292*2. Pues bien, dejamos para otra entrada el estudiar esta afirmación: si existe un par de valores X²,Y² que cumple esta ecuación para unos coeficientes  a y b, entonces existen infinitos.