viernes, 27 de septiembre de 2013

Triangulares de lado par

Esta entrada participa en la Edición 4.123105 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Cifras y Teclas.

Los números triangulares 3, 10, 21, 36,…que nos aparecieron en la anterior entrada (http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2013/09/igualdad-de-sumas-de-cuadrados-con-un.html) son aquellos cuyo número de orden es par: 3=T(2)=2*3/2; 10=T(4)=4*5/2; 21=T(6)=6*7/2,…

Si aplicamos la expresión algebraica de un número triangular, la de estos será

T(2n)=2n(2n+1)/2=n(2n+1)=2n2+n

Los podemos representar como formados por filas de triángulos de 3 elementos separados por otros elementos aislados. En la imagen hemos representado el 36, es decir T(8)


Observa que está formado por 10 triángulos de tres elementos y 6 puntos aislados. Nos sugiere que un número triangular de orden par equivale al triangular de orden mitad multiplicado por 3 más su triangular anterior, es decir:

T(2n)=3T(n)+T(n-1)

Es fácil demostrarlo por inducción: T(2)=3*T(1)+T(0)=3*1+0=3; T(4)=3*T(2)+T(1)=3*3+1=10…

Probemos con T(2(n+1))=T(2n)+(2n+1)+(2n+2) por definición de número triangular. Si aceptamos la hipótesis para n, tendremos:

T(2(n+1))=3*T(n)+T(n-1)+(n+1+n+1+n+1)+n=3*T(n)+3*(n+1)+T(n-1)+n=3*T(n+1)+T(n), luego la hipótesis se cumple para n+1.

La fórmula T(2n)=3T(n)+T(n-1) es válida

Adaptamos una demostración visual contenida en http://math.berkeley.edu/~rbayer/09su-55/handouts/ProofByPicture-printable.pdf



Así se ve  mejor la relación.

En realidad, estos números son los triangulares que no pueden ser hexagonales. Se sabe que todo hexagonal es triangular, porque su expresión es H(n)=n(2n-1)=2n(2n-1)/2=T(2n-1), pero el número de orden del triangular es 2n-1, impar, luego los que no son hexagonales formarán la sucesión que estamos estudiando: 3, 10, 21, 36,…, que está contenida en http://oeis.org/A014105

Expresión como diferencia entre una suma de pares y otra de impares

En la página OEIS enlazada se destacan estas relaciones:

3=4-1
10=6+8-1-3
21=8+10+12-1-3-5
36=10+12+14+16-1-3-5-7

No se justifican, y esto es una invitación a que lo hagamos nosotros. En primer lugar generalizamos.

Llamamos a nuestra sucesión TT(n)

TT(n)=T(2n)=SP(2(n+1),n)-SI(1,n)

Con SP(2(n+1),n) deseamos expresar que se toman n números pares a partir de 2(n+1) y con SI(1,n) que se suman los primeros n impares. Lo intentamos demostrar por inducción:

TT(n+1)=TT(n)+2n+1+2n+2, como ya sabemos por los párrafos anteriores. Si usamos la hipótesis para n queda:

TT(n+1)=2(n+1)+2(n+2)+…+2(2n)-1-3-5-7…- (2n-1)+2n+1+2n+2

Para construir la nueva suma de pares hay que añadir 2(2n+1)+2(2n+2) y eliminar 2(n+1). La diferencia es 4n+2+4n+4-2n-2=6n+4, que ha de salir de los nuevos sumandos 2n+1+2n+2=4n+3, que equivalen a 6n+4-(2n+1), siendo el paréntesis el nuevo impar que habría que restar, luego la estructura de la fórmula se mantiene y es correcta.

Usamos el álgebra

TT(n)=T(2n)=n(2n+1)=2n2+n
SP(2(n+1),n)=(2(n+1)+2(2n))*n/2=3n2+n
SI(1,n)=n2 como es sabido.

Por tanto, se verifica la diferencia.

Demostración visual

Ahí te la dejamos para el caso de 36. Analízala e intenta reproducirla para otros casos:



Esta construcción sólo es posible porque el triángulo es de orden par.

Otros desarrollos

Se cumple que TT(n)=T(2n)=3+7+11+15+…(4n-1), es decir, que es la suma de impares tomados de 4 en 4 a partir de 3. Si sabes verlo ( mira sólo las bolas rojas de la figura de la  derecha), en la anterior imagen se muestra esa suma con claridad. Puedes justificarlo algebraicamente:

3+7+11+15+…(4n-1)=(3+4n-1)*n/2=(4n+2)*n/2=n(2n+1)=TT(n)

Este desarrollo se puede escribir así:

TT(n)=22-12+42-32+62-52+82-72

que es una forma elegante de terminar esta entrada.