Igualdad de sumas de cuadrados con un escalón

Repasando algunas propiedades curiosas me encontré en hojamat.es con esta:

365=10²+11²+12² = 13²+14²

La pregunta inmediata que me surgió fue la de si existían otros números con la misma propiedad o similar. Los encontré en OEIS (http://oeis.org/) pero  no descubriré dónde por ahora, aunque los lectores experimentados sabrán hallarlos. Con esto quiero aclarar que lo que se consiga en esta entrada está ya descubierto, pero el objetivo (tan frecuente en este blog) es intentar la concurrencia de métodos y el uso de la hoja de cálculo.

Nos acercaremos al problema con el planteamiento de dos preguntas:

¿Existen más números en los que la suma de tres cuadrados consecutivos coincida con los dos siguientes?
¿Qué ocurrirá si aumentamos o disminuimos el número de cuadrados?

Es probable que hayas pensado en el 25=3²+4²=5², luego parece que sí existen casos similares. Lo vemos.

Acercamiento con la hoja de cálculo

Si concretamos un número de inicio n y un número de cuadrados igual a k+1 en el primer miembro y a k en el segundo, con estas sencillas líneas podemos descubrir si existen otros casos:

For i=1 to 10000 (por ejemplo)
‘calcula el primer miembro
a = 0
For l = 0 To k
a = a + (i + l) ^ 2
Next l

‘calcula el segundo miembro
b = 0
For l = k + 1 To 2 * k
b = b + (i + l) ^ 2
Next l

‘Los compara y si son iguales lo comunica
If a = b Then
Msgbox(n)
Msgbox(a)
End If
Next i

Hemos tomado como tope 10000, pero después habrá quizás que ampliar. Implementa esto como rutina en tu hoja de cálculo y descubrirás que para cada k existe una solución y sólo una.

Recogemos en una tabla los primeros resultados:

Ahora ya descubrimos que los resultados coinciden con los recogidos en http://oeis.org/A059255, pero no podemos dejarlo así, porque en la tabla aparecen números triangulares y múltiplos de 5. Algo habrá detrás. Intentamos descubrirlo.

Un poco de Álgebra

Si sospechamos que las soluciones son únicas para cada valor de k, es probable que exista una relación algebraica sencilla. En efecto, aunque los principios son algo farragosos, con paciencia algebraica llegaremos a la meta. No damos todos los detalles y te dejamos practicar:

Primera suma de cuadrados A

Suponemos que comienza en n y termina en n+k (k+1 sumandos), es decir:

Segunda suma de cuadrados B

Observa cómo lo hemos escrito, para que te aproveches de la fórmula para la suma de números naturales consecutivos.

Desarrolla cada suma separando los coeficientes de n², de n y los independientes. Como esta tarea te puede llevar a la desesperación, usa las dos populares fórmulas:

Calcula A-B para igualarla a cero y ve encontrando los coeficientes:

De n² te deberá resultar a=1. Es fácil verlo.

De n, si sabes usar la primera fórmula ofrecida, con algún retoque, te dará b=-2k²

El coeficiente independiente es un poco más complejo de encontrar correctamente. Puedes usar la suma de cuadrados de los primeros naturales. Deberá resultar c=-2k³-k²

Así que la ecuación para calcular n quedaría así:

Su discriminante es el cuadrado de 2k(k+1), lo que nos garantiza una solución entera. Tomamos la positiva y, efectivamente n=k(2k+1), que es el número triangular de orden 2k, como habíamos sospechado al principio.

Para cada valor de k, la igualdad de cuadrados pretendida ocurre para n=k(2k+1), el número triangular correspondiente a 2k, y es por tanto la solución única.

Hemos resuelto con rigor lo que sospechábamos tras el uso de la hoja de cálculo. Esto es imprescindible: las herramientas informáticas sólo proponen o dan pistas, pero no demuestran nada. A veces olvidamos esta limitación.

Expresión de la suma

Ahora podemos calcular el valor de las dos sumas. Sustituimos k(2k+1) en una de ellas, y sacando factor común nos resulta

A(k)=k(k+1)(2k+1)(12k²+12k+1)/6. 

Por ejemplo, para k=3 resulta 3*4*7*(12*9+12*3+1)=2030.

El problema se ha reducido a una cuestión algebraica.

Carácter de múltiplos de 5

Es fácil ver que aunque la expresión propuesta tiene denominador 6, su resultado será entero, porque ese ha sido su origen, y porque los factores k(k+1)(2k+1) garantizan un factor 2 y un 3. Estúdialo, que no es difícil de descubrir.

¿De dónde sacamos el factor 5?

Lo podemos ver mediante congruencias módulo 5. El valor de k puede presentar respecto al 5 los restos 0, 1, 2, 3 o 4.

Resto 0: En ese caso k contiene el factor 5

Resto 1: El factor 12k²+12k+1 será múltiplo de 5

Resto 2: Contamos con el factor 2k+1

Resto 3: El factor 12k²+12k+1 sería congruente con 12*9+12*3+1=108+36+1=145, múltiplo de 5

Resto 4: Nos proporciona el factor deseado el valor de k+1

En todos los casos la suma de cuadrados será un múltiplo de 5.

Hemos terminado con éxito. Nuestras sospechas tenían fundamento y la sucesión 25, 365, 2030, 7230, 19855, 45955, 94220, 176460… representa simplemente los distintos valores de un polinomio de quinto grado definido sobre los números naturales.