lunes, 23 de enero de 2012

La hoja resuelve problemas de Combinatoria

(Con esta entrada participamos en el Carnaval de Matemáticas 2.X, organizado en esta ocasión por Resistencia Numantina)


Combimaq 2

Sí, eso es posible, dentro de ciertas condiciones. Para ello creamos hace años el programa Combimaq y ahora presentamos su versión 2 para hojas de cálculo. La idea de este programa es resaltar que muchos planteamientos de problemas combinatorios en las enseñanzas medias se pueden reducir al análisis de unas pocas condiciones. Por ejemplo, estudiemos este problema de probabilidades:

Tiramos un dado tres veces consecutivas. ¿Qué probabilidad tiene el suceso de obtener al menos un 6, pero no en primer lugar?

Hemos comenzado con un problema de cierta dificultad para estas edades. Pues bien, para Combimaq 2, el planteamiento se reduce a estas condiciones:


Las cuatro primeras son fáciles de interpretar: Un dado tiene 6 caras, se tira 3 veces ordenadamente y como es un dado, los resultados se pueden repetir (lo de CUENTA lo dejamos por ahora).

Las siguientes comienzan con FAV, luego podemos sospechar que marcan las condiciones favorables para la probabilidad. En efecto, la primera exige que aparezca el 6 y la segunda, algo complicada, que no lo haga en primer lugar. Si descargas la hoja desde Hojamat (versiones Excel y OpenOffice)

http://hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm

observarás que puedes escribir esas condiciones en su rango correspondiente y después pulsar sobre el botón “Máquina”. Obtendrás 216 casos posibles (6*6*6) y 55 favorables (6^3-5^3-6^2 ¿por qué?) y una probabilidad de 0,2546.



Hemos comenzado con un problema no trivial para mostrar la potencia de cálculo de la “máquina de combinar”, pero si descargas el Manual de uso

http://hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/Combimaq%202.pdf

Podrás seguir paso a paso la forma de usar la hoja, la sintaxis de las condiciones y numerosos ejemplos de uso. Más adelante publicaremos colecciones de problemas clasificados por dificultad.

No es este el sitio para desarrollar el funcionamiento de la herramienta que proponemos. Por eso sólo resolveremos tres problemas para mostrar las distintas formas de plantear:

¿Cuántos subconjuntos tres elementos extraídos de {A, B, C, D, E, F, G} no contienen la letra B pero sí la A?

El planteo sería


El conjunto tiene 7 elementos y los subconjuntos 3. En los conjuntos no se tiene en cuenta el orden ni se repiten elementos. En las condiciones favorables hemos exigido que aparezca A pero no B. Por último, se ha concretado que lo que se combinan son letras y que sólo deseamos que se vean los casos favorables.

Resultado de todo ese planteamiento es la visión de todos los subconjuntos pedidos, que son 10, porque coinciden con C5,2


Tiramos al azar diez monedas sobre una mesa. ¿Qué probabilidad existe de que resulten exactamente cinco caras y cinco cruces?


En total son dos elementos, CARA y CRUZ, que se toman 10 veces con orden y repetición. Se declara CARA-CRUZ para que aparezcan los símbolos O y +. En los favorables se exige que la cuenta del primer símbolo sea 5 y por último se elige ver sólo los favorables.

El resultado sería


1024 proviene de 2^10, variaciones con repetición. 252 equivale a las formas de ordenar cinco caras y cinco cruces: 10!/(5!*5!)=252. Así, en contra de la impresión que tienen muchas personas, es una probabilidad más bien pequeña.

Ordenamos de todas las formas posibles las letras de la palabra BARBARA. ¿Cuántas de ellas comienzan y terminan con A?

Este el típico caso de permutaciones con repetición. En estos casos hay que aportar información sobre los símbolos que se combinan y el número de veces que se ha de repetir cada uno, que es lo que llamaremos CUENTA. Hay dos rangos en la hoja en os que se puede escribir esto, y después acudir a la orden de SIMBOLOS para que los lea Combimaq. En nuestro ejemplo sería así:



El resto de la programación de este experimento sería dar como números total y parcial el 7, por ser permutaciones, exigir orden, repetición y cuenta y, por último, la condición para favorables. Quedaría:


Obtendríamos este resultado:


El 210 proviene de 7!/(2!2!3!)=210 y si exigimos que primero y último sean ambos el símbolo A, nos quedaría 5!/(2!2!)=30, luego la máquina ha trabajado bien.

El listado de favorables obtenido es:



Esto es sólo una presentación. Para verlo con más detalle puedes descargar la Guía desde la dirección indicada arriba.

sábado, 21 de enero de 2012

Alfabeto Braille

Ideas para un estudio en clase:

Es difícil motivar los temas de Combinatoria en clase, salvo los de conteos triviales. Los ejemplos usados no siempre son cercanos a la realidad de nuestros alumnos. El estudio del alfabeto Braille puede servir para lograr esa motivación si se le da un enfoque lo más interdisciplinar posible. Enunciamos a continuación algunas ideas aisladas sobre objetivos que se pueden lograr con este alfabeto. Se recomienda el trabajo por grupos.

(1) Búsquedas en Internet:

* Qué es el alfabeto Braille. Cómo se lee:

Tras una breve introducción se inicia una búsqueda libre en Internet con la obligación de recopilar información. Es imprescindible obtener una imagen o varias con letras y números:







Esas imágenes se deben almacenar e imprimir para su posterior estudio.

* Escribir un resumen histórico del alfabeto en no más de 15 ó 20 líneas: 

Con el material almacenado, y pata evitar el uso de un simple copiar y pegar, se exigirá un resumen escrito del nacimiento y utilidad del alfabeto, de no más de 20 líneas. Si algún equipo lo desea puede ampliar el texto con otro documento complementario.

* Completar las búsquedas en la Red

Con otras en el entorno más próximo, como las teclas de los ascensores, una visita a la delegación de la Organización Nacional de Ciegos o cualquier otra cercana al alumnado.

* Sería conveniente que alguna frase de los documentos producidos se escribiera en Braille

(2) Para repasar Combinatoria: 

* Conteo en la celda básica de 2 por 3.

Por los procedimientos que cada grupo elija, se debe llegar al total de 2^6=64 símbolos posibles. Si se ve conveniente, se puede interpretar el resultado como total de conjuntos, o variaciones de (0,1) o combinaciones de seis casillas tomadas de uno en uno, de dos en dos,…

* Repaso del producto cartesiano: 

Investigación de los prefijos, Número total de símbolos usando prefijos: 64*64=4096. Estudio especial de los números del 0 al 9. ¿Siguen alguna pauta de orden? Investigar.

(3) Para trabajar con Hoja de Cálculo: 

Se puede confeccionar un traductor de símbolos Braille a letras. Para no complicar el trabajo se puede restringir el estudio a la célula básica sin prefijos. Se podría dividir el diseño en tres etapas:

(a) Traducir el esquema de seis puntos a un número binario

En la imagen se ha preparado, ajustando altura y anchura de las celdas, la célula básica del alfabeto en el rango B2:C4. Como punto se ha usado la letra “o”, pero puede servir cualquier otro.


La traducción a binario se consigue con la función SI. Copiamos a continuación la fórmula implementada en E2, que se ha extendido después al rango E2:F4:

=SI(B2="o";1;0)

Por último, se han asignado los valores 32, 16, 8, 4, 2 y 1 a cada una de las seis celdas. En el ejemplo se ha seguido el orden E2, F2, E3, F3, E4 y F4, para llegar a la fórmula

=E2*32+F2*16+E3*8+F3*4+E4*2+F4

Con ella conseguimos la traducción del símbolo Braille a un código comprendido entre 0 y 63 (64 posibilidades)

(b) Traducir el binario a símbolo Braille

Esta es la parte más pesada del trabajo, y por eso se aconseja el trabajo en equipo. Ahora, para cada letra se generará el código numérico correspondiente y se confeccionará una tabla de traducción. Mientras unos escriben los símbolos Braille en el primer rango otros toman nota del código generado y unos terceros van confeccionando la tabla traductora. Si se ve que falta tiempo, se pueden considerar sólo las diez o quince primeras letras.

Se pueden organizar en una tabla de dos columnas. Por dar comodidad al resto del diseño, situaremos a la izquierda el código y a su derecha la letra correspondiente:

32    a
40    b
48    c
52    d
36    e
56    f
60    g

(c) Traducción de código numérico a símbolo

Una vez confeccionada la tabla, que la suponemos situada en el rango B8:C24, por ejemplo, bastaría con usar la función BUSCARV para que consiguiéramos la escritura del símbolo a la derecha del código en la celda K4:

=BUSCARV(H4;B8:C14;2)

En la imagen puedes ver completa la traducción de la letra c:



(4) Trabajos complementarios

Para atender a la diversidad y al trabajo voluntario individual, se pueden proponer también:

* Traductor para números
* Estudio e interpretación de los prefijos
* Búsqueda de información sobre el Braille Unicode
* Concurso de microrelatos en Braille.
* Cualquier otro trabajo propuesto por el alumnado

lunes, 16 de enero de 2012

La Grecia clásica

Este blog va de números y hoja de cálculo, pero a veces es un imperativo tratar temas de más amplitud cultural. En estos tiempos de predominio del poder del dinero y de la adoración de los juguetes electrónicos se echa de menos el estudio reposado de nuestra cultura clásica.

Nuestro colaborador Rafael Parra Machío, preocupado, según sus palabras, por el deterioro de la actual comunidad griega y el olvido de lo que fue su civilización, ha rescatado un estudio suyo sobre la historia de la Civilización Griega.

Deseamos ofrecerlo en estos primeros días del año como un recordatorio de la necesidad de la vuelta a las fuentes en estos tiempos de desconcierto.

Lo podéis descargar en esta dirección

http://hojamat.es/parra/grecia.pdf

miércoles, 4 de enero de 2012

Números de Aquiles (1)

Un número natural se llama poderoso cuando todos los exponentes de sus factores primos son mayores o iguales a 2. Expresado de otra manera: si N es poderoso y un número p primo divide a N, entonces p2 también divide a N.

Esta definición tiene una consecuencia muy curiosa: todos los números poderosos se pueden expresar así: N=a2b3 con a y b naturales. ¿Te atreves a demostrarlo? Antes de que te pongas a ello, recuerda que no hemos dicho que a y b tengan que ser primos.

Los números de Aquiles son números poderosos que no pueden representarse como potencias perfectas, es decir, no equivalen a m^n con m y n naturales. Esto significa que el máximo común divisor de los exponentes ha de ser 1. En efecto, si en la descomposición de un número los exponentes tuvieran un factor común se podría efectuar la siguiente transformación:
Esto convertiría N en una potencia, en contra de lo supuesto.

Por ejemplo, el número 2700 es de Aquiles, porque equivale a 22*52*33. El m.c.d de los exponentes es 1. Son coprimos, aunque no dos a dos.

La descomposición N=a2b3 que vimos más arriba exige que en el caso de los números de Aquiles ni a ni b sean iguales a la unidad.

Los primeros números de Aquiles son

72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125, 1152, 1323, 1352, 1372, 1568, 1800,… (http://oeis.org/A052486)

Se han descubierto interesantes propiedades de estos números. Por ejemplo:

* 3087 y 7803 son ambos de Aquiles y sus cifras ordenadas en orden inverso

* Los números de Aquiles consecutivos más pequeños son

5425069447 = 73 × 412 × 972
5425069448 = 23 × 260412

* Hay números de Aquiles “fuertes”, en los que ellos son de Aquiles y su indicatriz de Euler también.

Son estos:

500, 864, 1944, 2000, 2592, 3456, 5000, 10125, 10368, 12348, 12500, 16875, 19652, 19773,...(https://oeis.org/A194085)

Ya los tienes presentados. Dentro de unos días daremos unas vueltecitas a estos números