Esta definición tiene una consecuencia muy curiosa: todos los números poderosos se pueden expresar así: N=a2b3 con a y b naturales. ¿Te atreves a demostrarlo? Antes de que te pongas a ello, recuerda que no hemos dicho que a y b tengan que ser primos.
Los números de Aquiles son números poderosos que no pueden representarse como potencias perfectas, es decir, no equivalen a m^n con m y n naturales. Esto significa que el máximo común divisor de los exponentes ha de ser 1. En efecto, si en la descomposición de un número los exponentes tuvieran un factor común se podría efectuar la siguiente transformación:
Por ejemplo, el número 2700 es de Aquiles, porque equivale a 22*52*33. El m.c.d de los exponentes es 1. Son coprimos, aunque no dos a dos.
La descomposición N=a2b3 que vimos más arriba exige que en el caso de los números de Aquiles ni a ni b sean iguales a la unidad.
Los primeros números de Aquiles son
72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125, 1152, 1323, 1352, 1372, 1568, 1800,… (http://oeis.org/A052486)
Se han descubierto interesantes propiedades de estos números. Por ejemplo:
* 3087 y 7803 son ambos de Aquiles y sus cifras ordenadas en orden inverso
* Los números de Aquiles consecutivos más pequeños son
5425069447 = 73 × 412 × 972
5425069448 = 23 × 260412
* Hay números de Aquiles “fuertes”, en los que ellos son de Aquiles y su indicatriz de Euler también.
Son estos:
500, 864, 1944, 2000, 2592, 3456, 5000, 10125, 10368, 12348, 12500, 16875, 19652, 19773,...(https://oeis.org/A194085)
Ya los tienes presentados. Dentro de unos días daremos unas vueltecitas a estos números
2 comentarios:
Tenemos que si N es poderoso divisible por el primo p, entonces es divisible por p².
Esto implica que ninguno de los exponentes de sus factores primos es menor que 2, pues en tal caso sería divisible por p, pero no por p².
Si p tiene un exponente n divisible por 2, entonces el número natural equivalente a p elevado a la mitad de dicho exponente, es raiz cuadrada de p elevado a ese exponente: n = 2x, entonces p^n = (p^(n/2))².
Si p tiene un exponente n que no es divisible por 2 (no puede ser menor que 2, tampoco menor que 3), entonces:
p^(n-3)*p³ es igual a p^n; de modo que (p^[(n-3)/2])²*p³ es igual a p^n.
Si N tiene un número cualquiera de factores primos, entonces cada uno puede representarse como algún número natural elevado al cuadrado y algún número natural elevado al cubo (puede ser 1³). Luego, se multiplican todas las bases de los exponentes y se obtienen así dos número naturales. El producto del cuadrado de uno de ellos con el cubo del otro equivaldrá a N.
Saludos
Muchas gracias por tu buen razonamiento. Saludos.
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