lunes, 23 de enero de 2012

La hoja resuelve problemas de Combinatoria

(Con esta entrada participamos en el Carnaval de Matemáticas 2.X, organizado en esta ocasión por Resistencia Numantina)


Combimaq 2

Sí, eso es posible, dentro de ciertas condiciones. Para ello creamos hace años el programa Combimaq y ahora presentamos su versión 2 para hojas de cálculo. La idea de este programa es resaltar que muchos planteamientos de problemas combinatorios en las enseñanzas medias se pueden reducir al análisis de unas pocas condiciones. Por ejemplo, estudiemos este problema de probabilidades:

Tiramos un dado tres veces consecutivas. ¿Qué probabilidad tiene el suceso de obtener al menos un 6, pero no en primer lugar?

Hemos comenzado con un problema de cierta dificultad para estas edades. Pues bien, para Combimaq 2, el planteamiento se reduce a estas condiciones:


Las cuatro primeras son fáciles de interpretar: Un dado tiene 6 caras, se tira 3 veces ordenadamente y como es un dado, los resultados se pueden repetir (lo de CUENTA lo dejamos por ahora).

Las siguientes comienzan con FAV, luego podemos sospechar que marcan las condiciones favorables para la probabilidad. En efecto, la primera exige que aparezca el 6 y la segunda, algo complicada, que no lo haga en primer lugar. Si descargas la hoja desde Hojamat (versiones Excel y OpenOffice)

http://hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm

observarás que puedes escribir esas condiciones en su rango correspondiente y después pulsar sobre el botón “Máquina”. Obtendrás 216 casos posibles (6*6*6) y 55 favorables (6^3-5^3-6^2 ¿por qué?) y una probabilidad de 0,2546.



Hemos comenzado con un problema no trivial para mostrar la potencia de cálculo de la “máquina de combinar”, pero si descargas el Manual de uso

http://hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/Combimaq%202.pdf

Podrás seguir paso a paso la forma de usar la hoja, la sintaxis de las condiciones y numerosos ejemplos de uso. Más adelante publicaremos colecciones de problemas clasificados por dificultad.

No es este el sitio para desarrollar el funcionamiento de la herramienta que proponemos. Por eso sólo resolveremos tres problemas para mostrar las distintas formas de plantear:

¿Cuántos subconjuntos tres elementos extraídos de {A, B, C, D, E, F, G} no contienen la letra B pero sí la A?

El planteo sería


El conjunto tiene 7 elementos y los subconjuntos 3. En los conjuntos no se tiene en cuenta el orden ni se repiten elementos. En las condiciones favorables hemos exigido que aparezca A pero no B. Por último, se ha concretado que lo que se combinan son letras y que sólo deseamos que se vean los casos favorables.

Resultado de todo ese planteamiento es la visión de todos los subconjuntos pedidos, que son 10, porque coinciden con C5,2


Tiramos al azar diez monedas sobre una mesa. ¿Qué probabilidad existe de que resulten exactamente cinco caras y cinco cruces?


En total son dos elementos, CARA y CRUZ, que se toman 10 veces con orden y repetición. Se declara CARA-CRUZ para que aparezcan los símbolos O y +. En los favorables se exige que la cuenta del primer símbolo sea 5 y por último se elige ver sólo los favorables.

El resultado sería


1024 proviene de 2^10, variaciones con repetición. 252 equivale a las formas de ordenar cinco caras y cinco cruces: 10!/(5!*5!)=252. Así, en contra de la impresión que tienen muchas personas, es una probabilidad más bien pequeña.

Ordenamos de todas las formas posibles las letras de la palabra BARBARA. ¿Cuántas de ellas comienzan y terminan con A?

Este el típico caso de permutaciones con repetición. En estos casos hay que aportar información sobre los símbolos que se combinan y el número de veces que se ha de repetir cada uno, que es lo que llamaremos CUENTA. Hay dos rangos en la hoja en os que se puede escribir esto, y después acudir a la orden de SIMBOLOS para que los lea Combimaq. En nuestro ejemplo sería así:



El resto de la programación de este experimento sería dar como números total y parcial el 7, por ser permutaciones, exigir orden, repetición y cuenta y, por último, la condición para favorables. Quedaría:


Obtendríamos este resultado:


El 210 proviene de 7!/(2!2!3!)=210 y si exigimos que primero y último sean ambos el símbolo A, nos quedaría 5!/(2!2!)=30, luego la máquina ha trabajado bien.

El listado de favorables obtenido es:



Esto es sólo una presentación. Para verlo con más detalle puedes descargar la Guía desde la dirección indicada arriba.