viernes, 20 de abril de 2012

Recuento y suma de cuadrados divisores de N

Como otro ejemplo de función multiplicativa, veremos hoy una muy simple: a cada número natural le hacemos corresponder la suma de todos los divisores cuadrados (SDC) que posea. Por ejemplo. SDC(28)=1+4=5, SDC(1000)=1+4+25+100 = 130. También es multiplicativa la cuenta de esos divisores (NDC)

Es evidente que para algunos, como 15 o 33, el resultado es 1.

No se debe confundir con la suma de las partes cuadradas vista en la entrada

http://hojaynumeros.blogspot.com/2011/12/emparedado-de-cuadrados-3.html      

Esta de hoy presenta valores menores, pues solo entran los divisores con parte libre igual a 1 es decir, cuadrados perfectos. En la anterior algunos cuadrados se repetían, por ejemplo en 4*3 y 4*7 como divisores de 4*3*7.

Además del muy conveniente método de calcular manualmente, con hoja de cálculo puedes evaluar fácilmente esta función

Con el Buscador de Naturales












El Buscador te resuelve el problema con las condiciones DIVISOR DE…, CUADRADO y   EVALUAR N y después se cuentan y se suman los divisores en el evaluador. En la parte superior de la imagen leemos que 4410 tiene 4 divisores cuadrados que suman 500. Luego NDC(4410)=4 y SDC(4410)=500

Como función en Basic

Se supone que ya poseemos las funciones ESMULTIPLO y ESCUAD, que ya se han usado varias veces en este blog. Con ellas se puede diseñar la función que deseamos:

Public Function sumadivcuad(n)
Dim i, s
s = 0
For i = 1 To n
If esmultiplo(n, i) And escuad(i) = 1 Then s = s + i
Next i
sumadivcuad = s
End Function

Con esta función se puede descubrir qué valores presenta la suma de divisores cuadrados para los primeros números naturales:

1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 5, 10, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 21, 1, 10, 1, 5, 1, 1, 1, 5, 26, 1, 10…,

La tienes publicada en http://oeis.org/A035316

Si sustituyes la orden s=s+i por la de s=s+1, en lugar de sumar contará los divisores cuadrados con lo que generará la unción NDC. Los resultados son:

1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2

http://oeis.org/A046951

En ambas páginas, la A035316 y la A046951 puedes aprender detalles teóricos muy interesantes. Aquí nos detendremos sólo en algunos aspectos.

Son multiplicativas

Basta considerar que ambas provienen de productos de este tipo


siendo p,q y r divisores primos del número.

En un producto de dos números coprimos lo que ocurrirá es que se unirán paréntesis de este tipo pero con primos distintos, con lo que tanto la cuenta de divisores como la suma se convertirán en producto de esas mismas funciones en los factores.

En algún momento de este año relacionaremos estas y otras multiplicativas similares con la función de Moebius, pero hay que ir paso a paso. Si te quieres adelantar, investiga.

Como en todas las multiplicativas, basta dar la operación que efectúan sobre los factores primarios pe con p factor primo del número y e su exponente. Se ve a la primera reflexión.
Los divisores de pe forman el conocido conjunto 1   p   p2   p3   p4   p5   p6 … pe-1   pe


De ellos sólo nos servirán los pares: 1   p2   p4   p6 …   pc, siendo c el máximo par contenido en e, es decir e – e MOD 2. Así que el número de divisores cuadrados NDC(pe) será:


 El corchete representa la parte entera. En el caso del ejemplo del primer párrafo, el número 4410=2*32*5*72 tendrá tantos divisores cuadrados como indica el cálculo

NDC(N)=(1+0)(1+1)(1+0)(1+1)= 4

En efecto, en la imagen del Buscador correspondiente hemos visto sólo cuatro divisores: 1, 9, 49 y 441.
Es interesante destacar que, como ocurre en casos similares, el valor de esta función no depende de los divisores primos, sino tan sólo de sus exponentes (su signatura prima)

La suma tampoco requiere mucho estudio. Sabemos sumar potencias mediante un cociente de diferencias. Así, si usamos c, el máximo número par contenido en e, es decir e – e MOD 2, nos resultará la fórmula para SDC(pe)


La aplicamos 4410=2*32*5*72

SDC(4410)=((2^2-1)/(2^2-1))*((3^4-1)/(3^2-1))*(5^2-1)/(5^2-1))*(7^4-1)/(7^2-1))=
1*10*1*50=500

que fue el resultado obtenido con el Buscador.

Ya conoces otras dos funciones multiplicativas, pero esto no ha acabado. Nos quedan al menos dos muy interesantes ¿Cuáles?