miércoles, 4 de abril de 2012

Damos vueltas a primos y al 18

Hace unos días Honorio, un seguidor de este blog, nos envió la siguiente conjetura: “Entre dos números primos consecutivos cuyos dígitos sumen lo mismo, como mínimo hay una diferencia de 18 entre ambos”.

Me causó sorpresa y aunque el tema de primos y cifras no es de los que más me entusiasman me puse a pensar en ella. Pronto descubrí que esta propiedad no la tienen por ser primos, sino por ser impares (el 2 no entra en la conjetura porque no coincide su suma con el consecutivo). Lo podemos demostrar:

La diferencia entre dos números impares distintos que presenten la misma suma de cifras es siempre un múltiplo (no nulo) de 18.

En efecto, si tienen la misma suma de cifras ambos presentan el mismo resto módulo 9 (recuerda el criterio de divisibilidad entre 9), luego su diferencia es múltiplo de 9. Pero como ambos son impares, su diferencia es par, luego también es múltiplo de 18, no nulo, porque ambos números son distintos.
Luego el valor mínimo de la diferencia es 18, y todas las demás, múltiplos de dicho número.

Esta propiedad abre un abanico de posibilidades: los primos pueden ser consecutivos o no. La diferencia suele ser 18 pero puede ser mayor.  Podíamos dar algunas vueltecitas al tema:

V1) Primos consecutivos con la misma suma de cifras y diferencia 18

Si disponemos de las funciones PRIMPROX (próximo primo), ESPRIMO  y SUMACIFRAS, ya tenemos las condiciones de búsqueda. Lo hemos realizado con el resultado de

523, 1069, 1259, 1759, 1913, 2503, 3803, 4159, 4373, 4423, 4463, 4603, 4703, 4733, 5059, 5209. 6229. 6529, 6619, 7159, 7433, 7459, 8191, 9109, 9749, 9949, 10691, 10753, 12619, 12763, 12923, 13763, 14033, 14303, 14369, 15859, 15973...  (Sólo se escribe el primer número primo de cada par)

Con nuestro Buscador de naturales puedes reproducirla planteando las condiciones

ES PRIMO(N)
ES SUMACIF(N)=SUMACIF(PRIMPROX(N))
ES PRIMPROX(N)=18+N

Se exige que N sea primo, que tenga la misma suma de cifras que el siguiente primo y que su diferencia sea 18. Si deseas ver el par completo añade EVALUAR PRIMPROX(N)




Siempre que encontramos una secuencia la comprobamos en OEIS para ver si está publicada, y en este caso no lo está, por lo que la hemos propuesto con el número A209875 (http://oeis.org/A209875) La nombraré como V1

V2) Primos con la misma suma de cifras que se diferencian en 18

Parece la misma cuestión, pero es que no exigimos que sean consecutivos. Por ejemplo, el 2 y el 11 presentan la misma suma y se diferencian en 9. Para buscarlos bastará ver que p sea primo y p+18 también, y que tengan la misma suma de cifras. Como las condiciones son menos restrictivas, es normal que aparezcan muchos más.

El resultado es este:

5, 13, 19, 23, 29, 43, 53, 79, 109, 113, 139, 149, 163, 173, 179, 223, 233, 239, 263, 313, 349, 379, 439, 443, 449, 491, 503, 523, 569, 613, 643, 659,…


Se puede reproducir con el Buscador usando las siguientes condiciones:

PRIMO
ES PRIMO(N+18)
ES SUMACIF(N)=SUMACIF(N+18)

En la imagen tienes el resultado.



También aquí puedes ver el par completo con EVALUAR N+18


Esta sucesión incluye a la V1. No estaba publicada en OEIS, por lo que la hemos incluido con el número A209663 (https://oeis.org/A209663)

Si la llamamos V2,tendremos que V1 es una subsucesión de V2.


V3) Primos consecutivos con la misma suma de cifras

En este caso las diferencias entre ellos serán múltiplos de 18.

El resultado es muy parecido al de V1 y está publicado en OEIS hace tiempo

523, 1069, 1259, 1759, 1913, 2503, 3803, 4159, 4373, 4423, 4463, 4603, 4703, 4733, 5059, 5209, 6229, 6529, 6619, 7159, 7433, 7459, 8191, 9109, 9749, 9949, 10691, 10753, 12619, 12763, 12923, 13763, 14033, 14107, 14303,… https://oeis.org/A066540

Puedes reproducirla en el Buscador de Naturales con

PRIMO 
ES SUMACIF(N)=SUMACIF(PRIMPROX(N))

El primer par con diferencia 36 es (14107,14143). El primero con diferencia 54 es (35617, 35671) y el primero con 72 (31397, 31469)

Es claro que V1 es un subconjunto de V3, porque 14107 o 35617 pertenecen a V3 y no a V1

Estos pares de consecutivos se pueden ampliar a tripletes: tres números primos consecutivos con la misma suma de dígitos

Los primeros que hemos encontrado son:

22193 22229 22247
25373 25391 25409
69539 69557 69593
107509 107563 107581
111373 111409 111427
167917 167953 167971
200807 200843 200861

Estos tripletes como tales tampoco figuraban en OEIS. Ya es de prever que los hemos incorporado (ver A209396)

Me he puesto a buscar conjuntos de primos consecutivos con la misma suma de cifras. Después de encontrar estos cuatro me he cansado. Si alguien quiere seguir…

1442173, 1442191, 1442209, 1442227

(Claudio Meller, en la entrada que enlazamos al final, presenta estos otros, aunque referidos a igual promedio: 8508473, 8508491, 8508509, 8508527. También nos ha indicado dónde se pueden consultar los primeros elementos de los pares, tripletes y demás conjuntos de primos consecutivos con la misma suma. Los puedes encontrar en  https://oeis.org/A071613. Gracias, Claudio)

V4) Otra vuelta más. 

Si dos números presentan la misma suma de cifras también coinciden en el valor de su raíz digital, que es el número entre  0 y 8 que resulta si sumamos sus cifras, y después volvemos a sumar las cifras de esa suma y reiteramos hasta obtener un número menor que 9. Es fácil razonar que ese número es el resto de dividir el número primitivo entre 9.

El inverso no es cierto: si se da la misma raíz digital las sumas de cifras no han de ser iguales, sino congruentes módulo 9.

Pues bien, si sólo exigimos que dos números primos consecutivos tengan la misma raíz digital nos resulta otra sucesión más amplia que la V1 y la V3, que también se ha publicado en OEIS

523, 1069, 1259, 1381, 1759, 1913, 2161, 2503, 2861, 3803, 3889, 4159, 4373, 4423, 4463, 4603, 4703, 4733, 5059, 5209, 5483, 6011, 6229, 6451, 6529, 6581, 6619, 7159, 7351, 7393, 7433, 7459, 7621, 7883, 8191, 8761, 9109, 9293, 9551, 9749, 9949,… (https://oeis.org/A117838)

Aquí se puede razonar también que las diferencias han de ser múltiplos de 18. Inténtalo.

V5) Aún quedan vueltas que dar, pero lejos de mí producir mareos irreversibles. Las presento con breves referencias:

V51) Tener la misma suma de dígitos es una condición fuerte, pero es más exigente pedir que sean los mismos dígitos, aunque en distinto orden, los que tengan dos primos consecutivos. Puedes verlos en  https://oeis.org/A069567 y se llaman pares de Ormiston. Los tienes completos en https://oeis.org/A072274 También existen tripletes de Ormiston.

V52) Y otra vuelta: Claudio Meller, de forma casi simultánea a nosotros ha tratado el tema, pero con promedios (ver http://simplementenumeros.blogspot.com/2012/03/889-primos-consecutivos-con-igual.html)

Bueno, bueno, ya vale de dar vueltas. Si encontráis temas similares los incorporo como extensión.