miércoles, 29 de junio de 2011

Un par de abundantes

¿Sabías que todo número par mayor que 46 es suma de dos números abundantes? (leído en Elementary number theory in nine chapters de James J. Tattersall. En el mismo se ha omitido el carácter de par)

Si dispones de la función “abundancia”, bastará, para descomponer un número en dos abundantes, ir probando sumandos y sus complementarios a ese número  para ver si ambos son abundantes (cuando su abundancia sea mayor que 2)

Lo hemos intentado con hoja de cálculo, añadiendo a la derecha el MCD de ambos sumandos:


Número
Abund1
Abund2
MCD




48
12
36
12
48
18
30
6
48
24
24
24
50
20
30
10
52
12
40
4
54
12
42
6
54
18
36
18
54
24
30
6
56
20
36
4
58
18
40
2
60
12
48
12
60
18
42
6
60
20
40
20
60
24
36
12
60
30
30
30
62
20
42
2
64
24
40
8
66
12
54
6
66
18
48
6
66
24
42
6
66
30
36
6
68
12
56
4
68
20
48
4

Vemos que en varios números existe más de una solución. También que los números abundantes pueden ser iguales y que en el caso extremo su MCD es 2 (sólo nos referimos a números pequeños, antes de que aparezca el primer abundante impar 945). A estos les vamos a llamar abundantes casi-coprimos, como podíamos haberles dado cualquier otro nombre. Téngase en cuenta que existen pares de números abundantes coprimos, como 945 y 992.

Hace tiempo que no proponemos búsquedas. Ahí van:

(a) ¿Qué números, entre 24 y 46 no poseen esta propiedad?

(b) Sólo existe un número menor que 100 que se puede descomponer en dos abundantes, uno de los cuales es siete veces mayor que el otro.

(c) ¿Qué número menor de 500 presenta más descomposiciones en pares de abundantes?

(d) La descomposición en dos sumandos abundantes casi-coprimos (MCD=2) sólo ocurre en algunos números. Los primeros son 38=18+20 y 58=18+40. ¿Cuáles les siguen?