jueves, 2 de junio de 2011

¿Hasta dónde llegarás, semiprimo?

El número 8129 tiene una propiedad notable: es semiprimo y los siete números impares consecutivos con él también lo son. En la tabla puedes consultar sus factores primos:
8129
 11, 739
8131
 47, 173
8133
 3, 2711
8135
 5, 1627
8137
 79, 103
8139
 3, 2713
8141
 7, 1163
8143
 17, 479

No es el único que posee esta propiedad. Puedes consultarlo en http://oeis.org/A082919. También la tienen
8129, 9983, 99443, 132077, 190937, 237449, 401429, 441677, 452639, 604487, 802199, 858179, 991289,…

Daremos unas vueltas a este tipo de conjuntos:

(a) En esa misma página de OEIS se te explica por qué no puede existir un conjunto de nueve impares consecutivos todos semiprimos. Intenta razonarlo sin leerlo.

(b) También llama la atención que todos sean impares. La razón de ello es fácil de encontrar. Decimos más, números pares consecutivos nunca formarán una secuencia de semiprimos, salvo los dos primeros, 4 y 6. Esto también es fácil de razonar.

(c) Igualmente sencillo es demostrar que dos números consecutivos en estos conjuntos han de ser primos entre sí. Su producto será un 4-casiprimo con factores primos distintos.

(d) En la página citada también se comenta (con otra expresión) que los elementos tercero y sexto de cada grupo de ocho son ambos el triple de números primos gemelos. Así ocurre con 8133=3*2711 y 8139=3*2713 (ver más arriba). Si elegimos otro octeto, por ejemplo el que comienza con 99443, también el tercero 99447=3*33149 y el sexto 99543=3*33151, tienen factores primos gemelos. Intenta razonarlo. Es una cuestión un poco más complicada que las anteriores.

(e) Más fácil: en el conjunto habrá al menos un múltiplo de 5 y también otro de 7. ¿Qué puede ocurrir si hay dos? ¿Aparecerán también primos gemelos? Piensa, piensa...