Chica, chico, chica…

Es tradición que en comidas de empresa o familiares se ponga empeño en que no se sienten juntas dos mujeres (o dos hombres), y se programa siempre el esquema chica, chico, chica… ¿Cómo estudiaría esta costumbre la Combinatoria?

El problema es más interesante si sólo prohibimos que estén juntas dos chicas, por ejemplo. Lo expresamos mediante unos y ceros:

Consideremos todos los conjuntos ordenados formados por ceros y unos, como 11001010. Exijamos que no haya dos ceros consecutivos. ¿Cuántos conjuntos ordenados de ese tipo aparecerán para cada valor de n? Representaremos ese número como O(n)

Para n=1 sólo existen dos conjuntos ordenados, (1) y (0), luego O(1)=2

Si n=2 obtendremos tres: (11),(10) y (01) (recuerda que están ordenados). O(2)=3

Si n=3 se pueden formar estos 5: (111), (110), (101), (011), (010). O(3)=5

Pero estos números; 2, 3, 5… ¡son términos de la sucesión de Fibonacci! ¿Seguirá ocurriendo así? ¿Será 8 el siguiente número correspondiente a conjuntos de cuatro símbolos (O(4)=8 y 13 el valor de O(5)? Te dejamos este reto. Recuerda la relación de Fibonacci y demuestra que nuestros conjuntos la cumplen. Como ayuda, considera los conjuntos de n+1 elementos divididos en dos clases, los que comienzan por 1 y los que lo hacen con 0.

Si lo has resuelto, intenta esto otro: ¿Qué significado tiene esta sucesión de números (relacionada con lo anterior)?: 0, 1, 3, 8, 19, 43, 94, 201, 423,…Puedes buscar en la Red.

Ejemplos como este desmitifican el carácter casi mágico con que se explica la presencia de los números de Fibonacci en la naturaleza. Aparecen porque son consecuencia de procesos de agregación y ordenación que a veces son tan complejos que permanecen ocultos, pero que son causa de la presencia de estos números.