Tozudos semiprimos

 (Con esta entrada participamos en el Carnaval de Matemáticas, edición 2.3, oganizado por el blog Los Matemáticos no son gente seria, de nuestro amigo Juan Martínez-Tébar Giménez)



El número 5282284277692667149 es semiprimo, porque solo posee dos factores primos:
5282284277692667149=2298321847*2298322267.

Lo curioso es que si encontramos la media de ambos primos, el resultado también es semiprimo:
(2298321847+2298322267)/2=2298322057=47809*48073, con ambos factores primos.

Pero si volvemos a hallar la media, obtenemos otro semiprimo:

(47809+48073)/2=47941=191*251

Y otro: (191+251)/2=221=13*17

Y otro más: (13+17)/2=15=3*5

Hasta llegar al último: (3+5)/2=4=2*2

¿Es este un comportamiento frecuente o una rareza? ¿Hay muchos números semiprimos de esta clase?

La respuesta es que existen infinitos, siempre que sea verdadera la conjetura de Goldbach.

En efecto, cualquier número pequeño semiprimo puede generar una sucesión de otros semiprimos cada vez más grandes en los que la media de sus factores sea el semiprimo anterior. El proceso es muy sencillo:

1. Tomamos un semiprimo, por ejemplo 6. Le hallamos el doble, y al ser número par se podrá descomponer según Goldbach en suma de dos primos: 12=5+7
2. Multiplicamos los factores para conseguir un nuevo semiprimo: 5*7=35
3. Volvemos al paso 1 usando el nuevo resultado.

Podemos, aunque no es necesario, elegir los dos números primos más próximos entre sí (si existen varias soluciones). Así, del número 6 obtendríamos esta sucesión:

6=2*3;
35=5*7;
1189=29*41;
1410121=1129*1249;
1988441234317=1410103*1410139;
3953898542332114498331173=1988441233963*1988441234671

Y así sucesivamente. Como los números son enormes, hay que abandonar la hoja de cálculo. Con la calculadora Wiris se puede proseguir. En la imagen tienes reflejado el último paso.

 

Si la conjetura de Goldbach no es cierta, ocurrirá que el bucle Repetir…hasta pueda no tener fin en algún caso determinado. La intuición nos dice que eso no se dará.

Nota: Este procedimiento genera, a partir de n,  un semiprimo de fórmula n²-k², siendo k primo con n (¿por qué ocurre así?), pero no vale cualquier valor de k. Así, para n=15 y k=4 nos genera el semiprimo 11*19=15²-4²=225-16=209, y también serían válidos k=2 y k=8 (todos primos con 15), pero no nos valdría el caso k=11, por ejemplo. Esta consideración nos proporciona una cota para la generación de un semiprimo nuevo, que sería n²