La familia de las sigmas (2)

La imagen de la anterior entrada está construida con los cuadrados de todos los divisores del número 20. Es lo que llamaremos función sigma_2 del número 20, mientras que reservamos la palabra sigma a secas (o sigma_1) a la suma de todos los divisores.

Todo esto es una parte de la definición general:

Es decir, que sigma_k es la suma de las potencias k-ésimas de todos los divisores de N. En la imagen propuesta N=20. La altura de la imagen es 42, suma de todos los divisores de 20, y los cuadrados forman el número 546, que equivale a sigma_2(20)

En la teoría elemental de la Divisibilidad estudiamos una fórmula práctica para el cálculo de sigma_1:

donde p_i son los factores primos de N.

Y es fácil demostrar con el mismo proceso que la fórmula para sigma_k es

Si deseas usar una hoja de cálculo, las funciones sigma se programan con unas pocas líneas:

public function sigma(n,k)
dim i,s

s=0
for i=1 to n
if n/i=n\i then s=s+i^k
next i
sigma=s
End function

¿Qué números tienen la propiedad de que la pila de cuadrados de sus divisores se puede convertir en un rectángulo?

Por una parte basta observar la figura para comprender la siguiente desigualdad:

Luego el rectángulo ha de tener una base menor que N.

Si programamos el cociente entre sigma_2 y sigma_1, nos encontraremos algunos números en los que el cociente es un número entero menor que N y esos serán los que presenten la propiedad pedida:

N	Sigma_1	Sigma_2	Cociente
1	1	1	1
2	3	5	1,67
3	4	10	2,5
4	7	21	3
5	6	26	4,33
6	12	50	4,17
7	8	50	6,25
8	15	85	5,67
9	13	91	7
10	18	130	7,22
11	12	122	10,17
12	28	210	7,5
13	14	170	12,14
14	24	250	10,42
15	24	260	10,83
16	31	341	11
17	18	290	16,11
18	39	455	11,67
19	20	362	18,1
20	42	546	13
21	32	500	15,63
22	36	610	16,94
23	24	530	22,08
24	60	850	14,17
25	31	651	21
26	42	850	20,24

En la tabla hemos destacado los números con cociente entero: 1, 4, 9, 16, 20, 25…

La lista se completa así:

1, 4, 9, 16, 20, 25, 36, 49, 50, 64, 81, 100, 117, 121, 144, 169, 180, 196, 200, 225, 242, 256, 289, 324, 325, 361, 400…

En ella están los cuadrados perfectos. Puedes intentar demostrar que en todo cuadrado perfecto el cociente M es entero.


Basta reducirlo a cocientes y productos de diferencias de potencias pares que son siempre divisibles, y se desemboca en un cociente de sumas de potencias impares que también presenta divisibilidad. No indicamos más.

Los restantes elementos de la lista son números que no están libres de cuadrados, pero no están todos, porque por ejemplo 63=3²*7 y no está.

No he encontrado en la lista ningún número libre de cuadrados, pero no sé encontrar la causa. Si alguien lo sabe, le agradeceríamos que nos informe.