Mínima hipotenusa

(Con esta entrada participamos en el Carnaval de Matemáticas 2.1, organizado en esta ocasión por Tito Eliatron dixit, a quien le damos la enhorabuena por el cumpleaños de esta iniciativa)


Hace unas semanas proponíamos encontrar la forma de generar esta secuencia de números:
3, 5, 13, 85, 157, 12325, 12461, 106285, 276341,…Copiamos la entrada:

A partir del número 3 se construye la siguiente sucesión de números impares
3, 5, 13, 85, 157, 12325, 12461, 106285, 276341,…
¿Cómo se ha conseguido? Si consultas en la Red puedes descubrir una definición algo complicada, que está contenida en una página muy popular. Nosotros pedimos un procedimiento más simple mediante el que se genere un 5 a partir del 3, y un 13 a partir del 5, y así el mismo procedimiento en  todos.


No es difícil de adivinar

Hoy descubrimos la solución (un poco tarde, pero ha habido un olvido por medio) y, siguiendo nuestra afición a los giros, le daremos algunas vueltas.

Para formar esta sucesión a partir del 3 se ha elegido en cada paso la “mínima hipotenusa que forma con el número una terna pitagórica”: 3²+4²=5²;  5²+12²=13²; 13²+84²=85²… y así van saliendo 3, 5, 13, 85,…

(a) La función mh(n) (“mínima hipotenusa para n”) está definida para todo número entero mayor que 2. En efecto, n² ha de ser igual a una diferencia de cuadrados entre mh(n) y un cateto, llamémosles a y b:

n²=a²-b²=(a+b)(a-b), siendo ambos factores de la misma paridad y diferentes entre sí.

Esto siempre es posible: Si n es impar, n² también lo será, y se podrá descomponer al menos como n² =n² *1, ambos impares. Si es par, n² será múltiplo de 4, luego se puede escribir como n² = 2*2m, ambos pares.

Por tanto todo número mayor que 2 posee una o varias hipotenusas posibles y bastará elegir la mínima (¿por qué esto falla con el 1 y el 2?)

(b) Una demostración fácil: Si n es primo, sólo existe una solución y viene dada por
Mh(n)=(n²+1)/2. Además, en ese caso, la diferencia entre la hipotenusa y el otro cateto es la unidad.

(c) Implementación de la función mh(n)

Si toda solución pasa por una diferencia de cuadrados, deberemos encontrar  dos factores de n con la misma paridad lo más cercanos uno de otro, a fin de que su semisuma (valor de a) sea mínima.

Incluimos un posible código

function minihip(n)
dim i,a,b
dim sigue as boolean


a=n*n ‘ tomamos el cuadrado de n
i=n  ‘El primer factor  probar es el mismo n
sigue=true  ‘Controla el bucle while
while sigue
i=i-1   ‘Vamos bajando el valor de i
b=a/i  ‘calculamos el otro factor
if esmultiplo(a,i)=1 and esnumpar(i+b)=1 then sigue=false ‘Han de ser divisores de n² y de la misma paridad
wend
b=(b+i)/2 ‘Se encuentra la semisuma de ambos factores
minihip=b ‘y ese es el valor de mh(n)
end function

(d) Espiral de números

Si reiteramos la aplicación de la función mh(n) a partir de un número entero, podremos construir un espiral con las hipotenusas (enteras) lo más pequeñas posible. De poco nos sirve, porque pronto comienzan a crecer. Por ejemplo, la que comienza con el 16 al principio va muy lenta, pero después salta: 16, 20, 25, 65, 97 y de pronto, 4705.

En cada tramo de la espiral el arcocoseno de n/mh(n) nos da una medida muy intuitiva de lo que aumenta el cateto al pasar a la hipotenusa, así como del giro que sufre ésta en cada paso. También podemos usar la razón mh(n)/n. Hay muchos números que comparten la misma razón, así mh(22)/22 = 122/22 = 61/11 y mh(121)/121 = 671/121 = 61/11, pero hay que tener cuidado, pues el carácter mínimo de mh(n) puede romper alguna proporcionalidad.

(e) La función mh(n) no es inyectiva. De hecho, el número 925, es mínima hipotenusa de 43, 533, 740, 875, 888 y 924

(f) El que c sea la mínima hipotenusa para a, no significa que también lo sea para el otro cateto b. Hay veces que sí, como en el caso de a=52: su mínima hipotenusa es c=65, con lo que el otro cateto es b=39 y mh(39) = 65 de nuevo. En otros casos no se produce esa coincidencia: a=55, mh(a)=73, b=48 y mh(48)=50, que no coincide con 73.

Piensa, ¿qué será más frecuente, el que coincidan o el que no? Pues en los mil primeros números son más frecuentes las coincidencias (entre 56% y 53,5%), pero va decreciendo ese porcentaje. Con más paciencia o instrumentos más rápidos podríamos conjeturar su límite.

(g) Se señaló anteriormente que el arcocoseno es una buena medida de la razón n/mh(n). Su cota es pi/2. ¿Crees que podemos acercarnos a esa cota tanto como queramos eligiendo convenientemente n? La respuesta es afirmativa:
Usando números primos la razón n/mh(n) = 2p/(p²+1) tendería a 0 para p suficientemente grande.