Un caso muy interesante es el de los irracionales cuadráticos, que, como demostró Lagrange, presentan desarrollos periódicos.
¿Cómo desarrollar un decimal cualquiera en fracción continua exacta (caso racional) o aproximada (si es irracional)?
La idea es: separamos la parte entera y la parte decimal del número N=e+d, y la decimal la expresamos así: N=e+1/(1/d). Volvemos a separar parte entera y decimal de 1/d y reiteramos, con lo que irán apareciendo los cocientes enteros de una fracción continua. Además de esta idea, existen otros procedimientos con más contenido teórico que no desarrollaremos aquí.
Probamos con la raíz cuadrada de 3. Los cálculos serían:
1,73205080757 = 1+ (1/(1/1,73205080757) =
1+ 1/1,36602540378 = 1+ 1/(1+1/2,73205080760) =
1+1/(1+1/(2+1/1,36602540378) = ….
Al salir este último número se descubre la periodicidad, luego 1,73205080757 equivale a la fracción continua
[1,1,2,1,2,1,2,….] que es periódica por tratarse de un irracional cuadrático.
A continuación destacamos algunos desarrollos importantes:
Números metálicos
Número de oro
Número de plata
Número de bronce
Las hojas de cálculo
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/hoja/fraccont.xls
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/hoja/fraccont.ods
automatizan el proceso. Si las descargas recuerda que están compuestas de dos hojas, una para números fraccionarios y otra para racionales. Si en la primera escribes =RAIZ(3) (En Calc con tilde: RAÍZ) obtendrás las aproximaciones (leyendo las reducidas) a la raíz cuadrada de 3.
El carácter aproximado de los cálculos produce que se rompan las posibles periodicidades después de muchos pasos.
1 comentario:
Muy acertada la elección de los números metálicos para presentar el uso de las fracciones contínuas. Hay una importante variedad de ellos. Pero siguiendo un poco la selección de números consecutivos para la confección de reducidas o convergentes, aquí van algunos que faltan:
2+5^(1/2)=[4,4,4,...]
(5+29^(1/2))/2=[]5,5,5,...]
3+10^(1/2)=[6,6,6,...]
(7+53^(1/2))/2=[7,7,7,...]
4+17^(1/2)=[8,8,8,...]
(9+85^(1/2))/2=[9,9,9,...]
5+26^(1/2)=[10,10,10,...]
Todos estos números tiene la particularidad de que son muy fáciles para la confección de reducidas, con lo que podemos conseguir un valor bastante aproximado a la solución de la ecuación que los genera.
Un saludo.
Rafael de Barcelona
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