El mayor divisor

Es fácil demostrar que todo número M que venga dado por la expresión 2ⁿ-1 con n natural compuesto, es también compuesto. Lo que no es tan inmediato es calcular su mayor divisor propio. Por ejemplo, el mayor divisor de 2²⁰-1=1048575 es 349525.

¿Qué protocolo de cálculo podríamos seguir para encontrar el mayor divisor de 2ⁿ-1 (n compuesto) con un número pequeño de pasos? No es exactamente un algoritmo, sino una estrategia. Para números grandes se puede complicar, pero para n menor que 100 no debería darnos problema.

Aquí puedes estudiar algunos resultados con valores de n compuestos:

Dos demostraciones propuestas por T. M. Apostol

En el libro “Introducción a la Teoría analítica de números” de T. M. Apostol hemos encontrado dos propuestas de demostración de nivel medio sobre números primos y compuestos:

(a) Demostrar que todo número N mayor que 12 es suma de dos compuestos.
(b) Demostrar que si 2ⁿ+1 es primo, n ha de ser potencia de 2.

En la primera has de darte cuenta del papel que juega el número 12. Quizás debas expresar el número N en forma de binomio.

La segunda recuerda los números de Fermat. Un camino posible es el de abordar el teorema recíproco.

No son excesivamente difíciles.

Un cuadrado más una unidad

Los números de la forma n²+1 con n natural tienen un atractivo especial: un cuadrado que se estropea por añadirle un elemento más. ¿Qué hacer con esta figura? A veces da lugar a un número primo, como 17, 37 o 101, y otras a un compuesto, como 50 o 26 Este es el de la figura, que se puede convertir en un rectángulo de 2 por 13.

Lo que es seguro es que estos números nunca serán múltiplos de 3, ni de 4, y tampoco de 7, pero sí pueden serlo de 17 (13^2+1=170=17*10) o de 13 (21^2+1=442=13*34)

¿De qué depende eso? Puedes abordarlo sin especiales conocimientos de teoría de números, con el uso de una hoja de cálculo. Si prefieres profundizar, te servirá de ayuda saber que esto está relacionado con los restos cuadráticos.