La tabla misteriosa

La tabla misteriosa

En esta tabla están casi todos los primeros números naturales. Lo que ves es sólo un fragmento de otra mayor que puede tener tantas filas y columnas como deseemos.

(1) ¿Cómo se ha generado esta tabla? Si lo descubres (no es difícil) tendrás las demás respuestas casi resueltas.

(2) En esta tabla no están todos los primeros números. ¿Cuáles faltan? ¿Qué característica comparten? (no cuentes el 1, que es un caso especial)

(3) Por el contrario, algunos de ellos están repetidos. Si prolongásemos la tabla se incrementarían las repeticiones. ¿Qué clase de números están repetidos?

(4) Todos los números de la primera columna se pueden expresar como k(k+2), siendo n natural. ¿Admiten expresiones similares las restantes columnas?

(5) Los números de la misma fila pueden descomponerse en factores del tipo n(k-n), siendo n y k naturales y k constante para la misma fila. ¿Puedes concretarlo más?

(6) ¿Qué podemos afirmar de las diagonales descendentes? La primera está formada por impares, la segunda por múltiplos de cuatro, y, en general, todas son sucesiones aritméticas ¿Por qué?

Ya sabes, acertando la primera, las demás caerán fácilmente.

Conjuntos numéricos idénticos

En algunas cuestiones resulta útil decidir de forma automática si dos conjuntos numéricos son idénticos o no. Por ejemplo, en las tablas de multiplicar de los cuerpos finitos, como Z/Z7, es interesante descubrir si

(a) No existen elementos repetidos en ninguna fila o columna

(b)  Los elementos de las distintas filas son los mismos.

Si escribimos los dos conjuntos en una hoja de cálculo, en filas paralelas, deberemos comprobar cuatro hechos para decidir si los conjuntos son idénticos o no:

 (1)   No existen elementos repetidos en el primer conjunto 

(2)   Tampoco se repiten los del segundo

(3)   Todo elemento del primero ha de pertenecer al segundo

(4)   Todo elemento del segundo ha de pertenecer al primero.

 

Las cuatro cuestiones las resuelve la función CONTAR.SI. Recorremos todo el primer conjunto y mediante esta función contamos las veces que figuran en el segundo. Si esos valores son mayores que 1, es que existen repetidos en el segundo conjunto, y si es 0, es que falta alguno. Lo deseable, pues, es que todos los contadores presenten el valor 1. 

Procedemos de la misma forma, contando las veces que los elementos del segundo conjunto figuran en el primero, y también han de valer 1. Para evitar problemas en las siguientes operaciones que explicaremos, a las celdas vacías también se le debe asignar un 1.

¿Cómo resumimos la situación? Multiplicamos todos los contadores del primer conjunto, y nos ha de resultar la unidad. Ocurrirá lo mismo con el producto de los del segundo, por lo que si multiplicamos ambos productos, obtendremos un criterio para decidir si los dos conjuntos son idénticos: el que el producto final tenga el valor de 1.

Puedes estudiar este proceso en los apuntes interactivos contenidos en http:/www.hojamat.es, en concreto la hoja grupos.ods.

Ver y calcular (1)

El estudio de cuestiones aritméticas deriva pronto a cálculos algebraicos, generalmente tediosos, y, en algunos casos, también a esquemas geométricos. Estos dos caminos, el algebraico y el visual se complementan perfectamente. Los números figurados, por su propia definición, son buenos elementos de unión entre ellos. Veamos un ejemplo cn números triangulares:

“Llamamos T(n) al enésimo numero natural. ¿Qué obtenemos si sumamos los cuadrados de un número triangular T(n) y de su siguiente T(n+1)?

Orientación algebraica

Conjetura: Diseñamos una tabla de números triangulares en una hoja de cálculo y en una columna adjunta calculamos la suma de cuadrados pedida para todos los casos posibles. Fácilmente se descubre una ley de formación. No indicamos el resultado, tan sólo que es un número triangular. ¿Cuál?

Cálculo: Mediante cálculos algebraicos se puede verificar la conjetura. Basta desarrollar la expresión y comprobar su resultado con el imaginado. En la imagen tienes un desarrollo efectuado con la calculadora Wiris. La conjetura está un poco escondida.

Orientación geométrica

Podemos atrevernos a pensar que si T(n) es un número triangular, su cuadrado se podrá representar por otro número triangular idéntico a él, pero sus elementos no serán puntos o bolitas, sino triángulos más pequeños. Sería “un triángulo de triángulos”.

Si no acertaste la conjetura por medio del Álgebra, esta imagen te la sugerirá con más facilidad. Las bolitas rojas corresponden al cuadrado de T(4) y las verdes al de T(3). Si no sientes una pequeña emoción al analizarla es que no te gustan de verdad las Matemáticas.

Grandes periodos

¿Cuál es el periodo de la fracción 77/23?

Las hojas de cálculo están orientadas a los números decimales y se comportan mal en algunos problemas que necesitan operaciones con números enteros. Así, en la cuestión de obtener el periodo de una fracción, aunque es un problema propio de números racionales, los cálculos se efectúan mediante la división entera tradicional. Así se efectuaba en las aulas cuando no existían las calculadoras.

No es difícil implementar una división entera para obtener los periodos largos que se producen con denominadores que contengan como factores números primos grandes. La idea es usar las funciones COCIENTE y RESIDUO de OpenOffice.org Calc ( Excel no usa la función COCIENTE, pero se puede sustituir por ENTERO(numerador/denominador)).

Por ejemplo, para obtener muchas cifras decimales del cociente 77/23, podemos proceder así: El cociente entre ambos sería COCIENTE(77;23) = 3 (En Excel ENTERO(77/23), que sería la parte entera. El resto se hallaría mediante RESIDUO(77;23)=8. 

A continuación podemos imitar la división que efectuábamos en el colegio (“sacar decimales”). Podemos multiplicar el resto 8 por 10 y volver a repetir la operación: COCIENTE(80;23) = 3, que sería la primera cifra decimal. Volvemos a hallar el resto: RESIDUO(80;23) = 11. Y así reiteramos cuantas veces deseemos.

En la imagen puedes estudiar la forma de ordenar estos cálculos

Puedes profundizar en este algoritmo en el archivo de dirección

http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/teoria/hojas/granperiod.ods

(Si usas Internet Explorer, el programa puede interpretar como archivo .zip la hoja de cálculo de OpenOffice) 

Versión en Excel: 

http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/teoria/hojas/granperiod.xls