Regresos 11: Construcciones con un número y sus cifras

Hace un tiempo, publiqué en Twitter (@connumeros) esta identidad:

22622*2*2*6*2*2=2171712

En ella, un número capicúa (o palindrómico), multiplicado por sus cifras, produce otro capicúa.

Ese mismo día comprobé esta otra igualdad:

22226+2*2*2*2*6=22322.

Por cumplirse la primera igualdad, 22622 pertenece a http://oeis.org/A229550, aunque en la misma no se exige que sea capicúa.

Estas dos propiedades en un mismo número me han animado a buscar casos parecidos en los que intervengan las cifras y se construya un número capicúa. Para ello regresaré a una entrada antigua.

Generación con un producto

En el año 2018 abordé en este blog el caso de números que permutaban sus cifras si se les sumaba el producto de las mismas. Esto ocurre, por ejemplo, en 9518=9158+9*1*5*8

(Ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2018/09/permutacion-de-cifras-al-sumar-su.html)

En esa entrada informaba de que Derek Orr ya había publicado casos similares en OEIS en 2014 (Ver http://oeis.org/A247888   y http://oeis.org/A243102)

En el desarrollo de los cálculos se usaban las funciones CIFRAS_IDENTICAS y PRODUCIFRAS. Esta última nos será útil en las cuestiones que abordemos ahora, por lo que se recomienda su repaso en la entrada enlazada.

También usaremos la función ESCAPICUA 

(Ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2017/10/suma-de-cuadrado-y-capicua.html)

Todos estos antecedentes justifican que el título de Regresos 11 para esta entrada.

Capicúa igual a otro capicúa por sus cifras

En el primer ejemplo, un capicúa multiplicado por el producto de sus cifras produce otro capicúa. No es difícil construir una búsqueda con esta condición con la función PRODUCIFRAS

Abordamos el primer ejemplo y sus similares: 22622*2*2*6*2*2=2171712

Al tener a nuestra disposición las funciones adecuadas, bastará buscar aquellos capicúas (con la función ESCAPICUA) que multiplicados por PRODUCIFRAS produzcan otro capicúa. Exigiremos que el producto de las cifras sea mayor que uno para evitar trivialidades.

Al realizar la búsqueda se comprueba que existen más casos de los esperados al principio, y entre ellos, el publicado 22622:

Aunque se programó la búsqueda hasta 100000, los resultados se detienen en el ejemplo ya conocido. Al proseguir más adelante aparecieron los casos 112211, 121121, 211112, lo que hace sospechar que casi todos los que aparezcan tendrán un producto igual a 2 o 3. Para profundizar, tradujimos la búsqueda al lenguaje PARI:

escapicua(n)={Str(n)==concat(Vecrev(Str(n)))}

producifras(n)={my(d=digits(n),p,i);p=prod(i=1, #d, d[i]);p}

es(n)={my(p=producifras(n));p>1&&escapicua(n)&&escapicua(n*p)}

for(i=1,10^6,if(es(i),print(i)))

 Con este planteamiento aparecieron todos los ejemplos inferiores a 10^7. Abundan entre ellos los construidos con las cifras 1, 2 y 3. El último es destacable.

2, 3, 22, 77, 121, 131, 212, 464, 1221, 2112, 11211, 11311, 12121, 21112, 22622, 112211, 121121, 211112, 1112111, 1113111, 1121211, 1211121, 2111112, 2223222, 4213124,…

Se puede afirmar que esta sucesión es infinita, pues pertenecerán a ella todos los números capicúas del tipo 111…11211…111, 111…11311…111, 111…212…111 y otros similares. Entre ellos aparecerán otros como 4213124, de desarrollo más inesperado.

Capicúa más suma de sus cifras

Otros ejemplos se pueden construir sumando las cifras en lugar de usar su producto. También contamos con la función SUMACIFRAS, que se puede estudiar, por ejemplo, en la entrada https://hojaynumeros.blogspot.com/2015/03/autonumeros-1.html

Bastará exigir que N (capicúa) más SUMACIFRAS(N) sea también capicúa. Los primeros ejemplos son:

Estos son los únicos números con esta propiedad entre los menores de 10^7, según se comprueba con PARI. Sin embargo, si se amplía el rango de búsqueda aparecen otros, como el 73999999999937, según se ve en https://oeis.org/A229622.

En esa página se afirma que la sucesión es infinita, porque se pueden añadir, con más cifras, números similares a 1099999999999901. No es difícil razonarlo.

Número no capicúa genera un capicúa al multiplicar por sus cifras

Podemos eliminar la condición de que el número que engendra un capicúa no sea él mismo de ese tipo al multiplicar por sus cifras. En  este caso, además de soluciones predecibles, aparecen otras que parecen ser debidas a casualidades:

Es predecible que 35*3*5=525, pero los dos últimos de la tabla sorprenden por su similitud.

Número no capicúa genera un capicúa al sumar sus cifras

Si en lugar de multiplicar por sus cifras, las sumamos, se amplían los ejemplos:

Los números de la primera columna están publicados en https://oeis.org/A229545, y allí se explica algunos ciclos de las últimas cifras de sus elementos.

La última columna parece contener todos los capicúas a partir del 11, pero no es así, porque, por ejemplo, falta el 121. En efecto, es imposible que cumpla la condición:

Si partimos de un número de dos cifras 10a+b tendríamos

10a+b+a+b=11a+2b=121

Como 2b<20, ningún múltiplo de 11 inferior a 121 y con a<10 presenta una diferencia menor de 20 con él. No nos valdría 99 ni 110.

Si el número tuviera tres cifras tampoco sería posible

100+10a+b+1+a+b=101+11a+2b, y tendríamos la misma situación. El número 121 es colombiano o autonúmero

(Ver nuestra explicación en https://hojaynumeros.blogspot.com/2015/03/autonumeros-1.html)

Según esto, si disponemos, como es en este caso, de las funciones ESCAPICUA y ESAUTO (ver entrada enlazada), bastará exigir las dos condiciones para obtener la lista de capicúas que no admiten la propiedad que estamos estudiando:

Están publicados en https://oeis.org/A332970

Números con cifras crecientes

Nos queda comprobar casos similares al recordado al principio de este estudio:

22226+2*2*2*2*6=22322

Con multiplicación

Ya hemos usado en otra ocasión la función CIFRAS_CRECIENTES, que determina si un número posee sus cifras crecientes en sentido amplio. Puedes consultar la siguiente entrada:

https://hojaynumeros.blogspot.com/2022/06/numeros-con-cifras-crecientes-o.html

Con esta función es fácil encontrar números con cifras crecientes tales que, al multiplicar por todas sus cifras, resulte un capicúa. Esos son los primeros resultados:

Con la suma

Volvemos a intentarlo, pero sumando el producto de las cifras, e ignorando los productos nulos:

Entre otros muchos resultados menores, aparece el que encabezaba este texto: 22226+2*2*2*2*6=22322.

Con esto finalizamos la exploración de estas curiosidades similares entre sí. Se han dejado algunas sin estudiar, como es nuestra costumbre, para dejar otras posibilidades de exploración y no extender demasiado este texto.

Algunos resultados están inéditos, pero el autor no los va a publicar en OEIS.

Al igual que en temporadas anteriores, con esta entrada de junio termina la 2023-24. En verano esperan otras actividades, y ya volverán más curiosidades en septiembre. Gracias por leerme.