Sumas de términos en progresión

En esta entrada nos preguntaremos, dado un número natural N, qué progresiones aritméticas de números, también naturales, tienen como suma el número dado N.

Esta cuestión maneja tres variables distintas, como son el término inicial de la progresión, a₁, el número de términos k, y la diferencia de la progresión, sea d. Para una gestión cómoda del problema, es conveniente fijar una de ellas y dejar como variables las otras dos. Su relación algebraica es sencilla, si se recuerdan las fórmulas de las progresiones aritméticas:

Término general:

Suma de la progresión

Si combinamos las dos fórmulas, y  llamamos N a la suma (que es nuestro objetivo), obtendremos, después de simplificar:

Multiplicando por 2:

Esta es nuestra igualdad básica, que nos informa de algo fundamental, y es que el número de términos k ha de ser divisor de 2N.

Por otra parte, el máximo valor de k sería el resultante de sumar una progresión aritmética formada por los primeros números naturales (d=1). Cualquier otra progresión requiere menos sumandos. Esa suma de los primeros naturales constituye un número triangular, luego la cota de k se desprendería de la desigualdad

En otras entradas de este blog hemos despejado el equivalente a k respecto a N, y nos ha resultado, después de manipulaciones algebraicas:

En lenguaje de VBASIC y similares, k<=Int((Sqr(8 * n + 1) - 1) / 2)

Además de ser divisor de 2N y presentar esta acotación, al despejar a₁ o d en la fórmula básica, deberá resultar un entero positivo. Según planteemos la búsqueda, exigiremos que uno u otro sean de ese tipo.

Por otra parte, si llamamos q al cociente (que será entero) 2N/k, es fácil ver que la diferencia d tiene como cota q/(k-1) (que sería cuando  a₁=0).

Por ejemplo, la siguiente función depende de N y k, y en ella exigimos que a₁ sea entero positivo:

Function sumaprogre$(n, k) ‘Es un texto, para abarcar todas las soluciones

Dim a, d, b, c, q
Dim s$

s$ = "" ‘Contenedor para el texto
q = 2 * n / k ‘Cociente para ver si k es divisor de 2N
If q = Int(q) Then ‘Es divisor
For d = 2 To q / (k - 1) ‘Usa la cota q/(k-1) para d
a = (q - d * (k - 1)) / 2 ‘Cálculo de a₁
If a > 0 And a = Int(a) Then ‘Si a₁ es entero positivo, seguimos
b = a + d * (k - 1) ‘Último término
s = s + " ## a(1)=" + Str$(a) + " a(k)=" + Str$(b) + " d=" + Str$(d)
‘Se presenta el resultado como texto, con inicio, fin y diferencia
End If
Next d
End If
If s = "" Then s = "NO" ‘No hay solución
sumaprogre = s
End Function

Por ejemplo, el número 142 es igual a 2*71, con lo que los divisores de 284 (2N) son  284, 142, 71, 4, 2, 1, y constituyen los valores posibles de k. Si probamos k=71, la función nos devuelve un “NO”, porque no existen sumas con k=71. Por el contrario, si elegimos k=4, nos resulta un número excesivo de soluciones:

Sumaprogre(142;4)= ## a(1)= 31 a(k)= 40 d= 3 ## a(1)= 28 a(k)= 43 d= 5 ## a(1)= 25 a(k)= 46 d= 7 ## a(1)= 22 a(k)= 49 d= 9 ## a(1)= 19 a(k)= 52 d= 11 ## a(1)= 16 a(k)= 55 d= 13 ## a(1)= 13 a(k)= 58 d= 15 ## a(1)= 10 a(k)= 61 d= 17 ## a(1)= 7 a(k)= 64 d= 19 ## a(1)= 4 a(k)= 67 d= 21 ## a(1)= 1 a(k)= 70 d= 23

Observamos que varían entre d=3: 31+34+37+40=142 hasta d=23, 1+24+47+70=142.

Los valores posibles de las diferencias cumplen la acotación 2N/k/(k-1), que en este caso sería 284/4/3=23,666…

Llama la atención que probando varios números, suelen aparecer muchas soluciones, o ninguna. En algunos casos, la solución es única. Por ejemplo, el número 2024 sólo admite una solución con 44 sumandos:

Sumaprogre(2024;44)= ## a(1)= 3 a(k)= 89 d= 2

Es una suma de impares desde 3 hasta 89. Con otra herramienta, usando diferencias de cuadrados,  se llega al mismo resultado:

Aquí se ha expresado 2024 como 45²-1², de donde resulta la misma suma de impares.

Estudio para un número dado

La anterior función se puede aplicar a todos los divisores de un número, con lo que obtendríamos un panorama general de todas las posibilidades que tiene de ser suma de una progresión aritmética. El problema es de visualización, pues, tal como comentamos anteriormente, pueden obtenerse muchas soluciones, con lo que se perdería la visión de conjunto. En el siguiente recorte (incompleto) podemos observar los resultados para 2024:

La primera columna indica el número de sumandos, y la segunda, en forma de texto, todas las posibilidades, descritas mediante a(1), a(k) y d.

Uso de la diferencia como parámetro

Podemos estar interesados en cuántas sumas, con una diferencia dada, se pueden encontrar para N. Por ejemplo, en el recorte anterior del caso del 2024, se descubren varios ejemplos con d=4.

La siguiente función, muy similar a la anterior, nos devuelve todas las sumas con una diferencia dada. No se añaden comentarios porque la metodología es la misma.

Function sumaprogre2$(n, d)

Dim a, k, b, c, q, l
Dim s$

s$ = ""
l = Int((Sqr(8 * n + 1) - 1) / 2)
For k = 2 To l
q = 2 * n / k
If q = Int(q) Then
a = (q - d * (k - 1)) / 2
b = a + d * (k - 1)
If a > 0 And a = Int(a) Then s = s + " ## a(1)=" + Str$(a) + " a(k)=" + Str$(b) + " k=" + Str$(k)
End If
Next k
If s = "" Then s = "NO"
sumaprogre2 = s
End Function

Aplicada al año 2024 y a la diferencia d=4 nos ha devuelto estas soluciones, que coinciden con las del esquema general:

## a(1)= 1010 a(k)= 1014 k= 2 ## a(1)= 500 a(k)= 512 k= 4 ## a(1)= 239 a(k)= 267 k= 8 ## a(1)= 164 a(k)= 204 k= 11 ## a(1)= 50 a(k)= 134 k= 22 ## a(1)= 44 a(k)= 132 k= 23

En ellas se nos ofrecen el primer término a(1), el último a(k) y el número de sumandos k.

Por ejemplo, a(1)= 164 a(k)= 204 k= 11 se refiere a esta suma con 11 sumandos que se diferencian en 4 unidades:

2024=164+168+172+176+180+184+188+192+196+200+204

Podríamos repetir las búsquedas fijando un valor para a₁, pero no parece resultar interesante.