Divisorial

Llamaremos divisorial de un número al producto de sus divisores, (según OEIS WIKI, sin revisar). Su cálculo es muy sencillo, porque los divisores de N se presentan por pares cuyo producto es N. Por ejemplo, en 45 se da que 45*1=15*3=9*5=45. El producto total, o divisorial, será 45^3=91125.

Si TAU(N) es el número de sus divisores, se tendrá que el número de pares será TAU(N)/2 si TAU es par y (TAU(N)+1)/2 si es impar, porque este último caso se dará en los cuadrados, y la RAIZ(N) se contaría repetida. Por ejemplo, el divisorial de 36 será 36*18*12*9*6*4*3*2*1=10077696, pero si lo ordenamos por pares, la raíz cuadrada estaría repetida:

Nos resultaría un producto seis veces mayor. Habría que suprimir el 6 sobrante, con lo que resultaría ese 6 multiplicado por los pares restantes, que forman TAU(N). Tendríamos 6*36*36*36*36=36^9/2

Por tanto, en el caso par y en el caso impar la fórmula adecuada es

Hemos seguido la nomenclatura usual de π(n) para el divisorial.

En el caso de 45 nos daría 45^6/2=45³=91125

En el caso de 36 existen 9 divisores, luego tendríamos 36^9/2= 10077696.

Los resultados del divisorial no se repiten, es decir, a números distintos les corresponden divisoriales distintos (ver la demostración de T.D. Noe en

http://www.sspectra.com/math/DivisorProduct.pdf)

Encontrar π(n) sin usar la función TAU es muy simple. Basta recorrer los números menores o iguales a N y multiplicar tan solo los divisores. En la práctica solo hay que llegar a N/2 y después multiplicar por N. En Visual Basic puede quedar así:

Function proddivi(n)

Dim p, i

 

p = n ‘Comenzamos el producto con n

For i = 2 To n / 2

If n / i = n \ i Then p = p * I ‘Si es divisor, se multiplica

Next i

proddivi = p

End Function

Con esta función podemos crear la primera tabla de divisoriales:

 

Están publicados en https://oeis.org/A007955

En el lenguaje PARI está implementada la función TAU con el nombre de numdiv, luego el divisorial se puede encontrar con

π(n)=n^(numdiv(n)/2)

En la imagen se ha pedido el valor de los 50 primeros:

 

En color azul figura la instrucción en PARI usada.

Casos particulares

N es primo

En ese caso TAU(N)=2, luego π(n)=n^2/2=n

Es lógico, porque el único producto de divisores es 1*n y el divisorial de n coincide con el número n

Potencia de primo

Si N=p^k, TAU(N)=k+1, porque los divisores serán (1, p, p², … p^k) , luego el divisorial será p^(k+1)/2.

Entre ellos, los divisoriales de cubos de primos serán cuadrados.

Semiprimo no cuadrado

Si N=p*q, con p≠q, poseerá cuatro divisores, 1, p, q y pq, luego TAU(N)=4 y su producto de divisores π(n)=n^4/2=n². Lo vemos en el listado anterior con 6 y 10.

Resultado cuadrado

Si el divisorial es una potencia, encontraremos muchos de ellos que sean cuadrados. Ya hemos visto que aparecen en los cubos de primos y en semiprimos no cuadrados, pero existen más. Estos son los primeros:

 

Entre ellos están los esfénicos, números del tipo p*q*r con los tres primos distintos. En ellos los divisores son: 1, p, q, r, pq, pr, rq y pqr, es decir ocho divisores, luego el producto de divisores será una potencia cuarta, también cuadrada.

En  https://oeis.org/A048943 puedes consultar un razonamiento más completo.

Resultado cúbico

Es fácil razonar que las quintas potencias de un primo poseen un divisorial que será un cubo, ya que π(n)=n^(5+1)/2=n³

También producen un cubo los números, como el 12, que tienen la forma pq², pues TAU(n)=(1+1)(2+1)=6, luego π(n)=n^6/2=n³

Estos son los primeros:

Puedes buscar más casos particulares, que no serán complicados de razonar.