No todos los números naturales pueden ser hipotenusas o
catetos en una terna pitagórica. Por ejemplo, el 23 no es ni uno ni otro. Otros
números pertenecen a varias ternas distintas, como ocurre, por ejemplo, con el
número 27925, que es hipotenusa en siete ternas y cateto en una:
Como hipotenusa:
27925^27=2004^2+27853^2=5875^2+27300^2=7819^2+26808^2=11680^2+25365^2=13284^2+24563^2=16755^2+22340^2=18315^2+21080^2
Como cateto: 27925^2=72605^2-67020^2
¿De qué depende esto?
Lo veremos por separado, ya que necesitamos teorías
distintas.
Un número como hipotenusa
Estudio teórico
En entradas anteriores de mi blog se ha estudiado bien la
descomposición de un número en suma de cuadrados. Recientemente he encontrado
un documento que lo explica claramente:
https://www.math.purdue.edu/~jlipman/MA598/sums-of-two-squares.pdf
En nuestro caso, el número a descomponer es el cuadrado de
la hipotenusa, por lo que se le puede aplicar tres criterios contenidos en el
mismo. Si descomponemos N en sus factores primos resultará:
El factor 2 no influye en el número de cuadrados y se puede
ignorar. La razón, según se explica en el documento, es la igualdad
(x+y)2+(x-y)2 = 2(x2+y2)
La primera suma es par, luego los dos cuadrados tienen la
misma paridad, lo que justifica que se puedan expresar como suma y diferencia
de dos números naturales. Según el segundo miembro, su mitad también será una
suma de cuadrados. Así que podemos dividir el número a estudiar entre 2 todas
las veces que deseemos, porque el número de sumas de cuadrados no cambiará.
Los factores primos del tipo 4k+3, que suelen impedir la
descomposición en dos cuadrados, figurarán todos con exponentes pares, por ser
un cuadrado, por lo que, según la teoría, tampoco impiden la descomposición, y
tampoco aportan nuevas soluciones. Se pueden ignorar.
Los factores del tipo 4K+1 son los que facilitan la
descomposición en suma de dos cuadrados, y según el documento citado (siguiendo
a Gauss) producirán un número de resultados dado por la fórmula
(La imagen es un recorte del documento)
Nos interesa el caso inferior, aplicable a cuadrados. En la
fórmula, er es el exponente de un factor primo del tipo 4K+1, únicos
que nos interesan.
Sólo serán hipotenusas de ternas pitagóricas
los números que contengan factores del tipo 4k+1.
El número de ternas de las que puede ser
hipotenusa un número dado sólo depende de la signatura prima (conjunto de
exponentes) y no de los números primos presentes (si son del tipo 4K+1)
Lo aplicamos al ejemplo 27925. Su descomposición factorial
es 52*1117. Ambos primos son del tipo 4K+1, luego nos interesan los
exponentes de su cuadrado, que serían 4 y 2 respectivamente. Luego, por la
fórmula de la imagen de más arriba:
S(n)=((4+1)(2+1)-1)/2=14/2=7
Ese fue el número de sumas de dos cuadrados (y por tanto
ternas pitagóricas) que figuran al principio de este estudio.
Probaremos con otro ejemplo: 1980=22*32*5*11.
En su cuadrado no influirán los factores 2, 3 ni 11 (el 2 y
los del tipo 4K+3), luego sólo usaremos los exponentes del cuadrado de 5, es
decir:
S(1980)=((2+1)-1)/2=1
En efecto, usando una función que se presentará más
adelante se obtiene el resultado
1:: =1188^2+1584^2
Obtención de las sumas de cuadrados
La siguiente función en VBasic resuelve la búsqueda de esas
sumas. En ella se va formando un cuadrado como suma de impares, la variable k.
Function espitag(n) As String
Dim k, p, d, m
Dim s$
s =
"" ‘Contenedor de soluciones
m = 0 ‘Contador
de sumas
k = 1:
p = 3 ‘Inicio de los cuadrados mediante suma de impares
While
k < n * n / 2 ‘Probamos el primer cuadrado de la suma
d = n
* n – k ‘Posible segundo cuadrado
If
escuad(d) Then ‘Nueva solución para la suma de cuadrados
m = m + 1
s = s + "=" + ajusta(Sqr(k)) +
"^2+" + ajusta(Sqr(d)) + "^2"
End If
k = k
+ p: p = p + 2 ‘Siguiente cuadrado
Wend
espitag = ajusta(m) + ":: " + s
End Function
Esta función te devuelve el listado de soluciones. Lo vemos con un ejemplo:
1950=2*3*5^2*13
Si le aplicamos la función nos devuelve
S(1950)=7::216^2+1938^2=480^2+1890^2=546^2+1872^2=750^2+1800^2=990^2+1680^2=1170^2+1560^2=1224^2+1518^2=2*3*5^2*13
Son siete sumas de cuadrados. Según la teoría, la
justificación es el cálculo S(1950)=((4+1)(2+1)-1)/2=14/2=7
Hemos ignorado el 2 y el 3, y usado los exponentes del
cuadrado de 5^2 y 13.
La ventaja de la función es que nos da el número de sumas y
el listado de las mismas.
¿Qué números pueden resultar al contar ternas?
Según lo visto, cualquier número natural puede ser el
resultado de contar ternas. Esto es así por la forma de calcularlo.
Sea un número cualquiera K. Si lo multiplicamos por 2 y añadimos 1, nos resultará un número impar, que se podrá igualar al producto de paréntesis de la fórmula empleada. Como trabajamos con exponentes, bastará usar bases del tipo 4K+1. Lo vemos con un ejemplo:
¿Qué números producirán trece ternas distintas?
Multiplicamos 13 por 2 y añadimos 1, con lo que obtenemos
27, que se puede descomponer en 3*3*3. Esos factores provienen de exponentes
del cuadrado (que serían 2), por lo que basta multiplicar tres números primos
del tipo 4K+1, por ejemplo, 5*13*17=1105. Le aplicamos la función y queda:
S(1105) 13::
=47^2+1104^2=105^2+1100^2=169^2+1092^2=264^2+1073^2=272^2+1071^2=425^2+1020^2=468^2+1001^2=520^2+975^2=561^2+952^2=576^2+943^2=663^2+884^2=700^2+855^2=744^2+817^2
Otro ejemplo: ¿Cuándo resultarán ocho ternas?:
8*2+1=17, que es primo, luego la única posibilidad es que
se trate de la potencia octava de un primo del tipo 4K+1. Usamos las más
pequeña, 5^8=390625, con el resultado de ocho ternas:
S(390625) 8::
=29625^2+389500^2=80620^2+382215^2=109375^2+375000^2=137500^2+365625^2=164833^2+354144^2=210000^2+329375^2=234375^2+312500^2=257400^2+293825^2
Primos del tipo 4K+1
Un caso especial lo constituyen los números que son primos
del tipo 4K+1, también llamados primos pitagóricos. Como son muy interesantes,
les dedicaré un estudio especial cuando se termine el tema actual.
Catetos de una terna
Esta entrada se ha alargado algo, y continuaré en la
siguiente con el tema de los catetos y algún otro.
